質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)問題范文

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篇1

1力學(xué)課程教學(xué)過程中存在的問題

1．1大量知識點(diǎn)與高中物理重疊，知識的新鮮感不足，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

力學(xué)課程中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)、動量、動能、勢能、振動和波動等大量知識點(diǎn)都是高中物理重點(diǎn)內(nèi)容，大學(xué)力學(xué)課程只是以微積分為載體用一種更系統(tǒng)、更基本、更符合物理思維邏輯的方式展現(xiàn)出來，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入、拓展。學(xué)生在高中三年很大一部分時間都在與這些知識點(diǎn)打交道，早已沒有了新鮮感。這就導(dǎo)致學(xué)生對力學(xué)知識的求知欲不強(qiáng)，課程的學(xué)習(xí)興趣不足，對教學(xué)過程和教學(xué)效果不可避免地產(chǎn)生負(fù)面影響。而且，一些高中物理的核心知識點(diǎn)，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)、動量以及動能等正好是力學(xué)課程前面部分的內(nèi)容，很容易使學(xué)生在剛剛接觸力學(xué)課程的時候產(chǎn)生錯覺，認(rèn)為它僅僅是在高中物理相關(guān)知識基礎(chǔ)上簡單的進(jìn)行一下擴(kuò)充和補(bǔ)充，從而在課程學(xué)習(xí)的初期產(chǎn)生輕視的態(tài)度，造成課程前期基礎(chǔ)掌握不牢，后續(xù)學(xué)習(xí)力不從心，嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)的效果。

1．2高中物理式思維慣性嚴(yán)重，難以建立以微積分為基礎(chǔ)的物理思維模式

力學(xué)課程是將經(jīng)典力學(xué)的基本定理和規(guī)律以微積分為基礎(chǔ)并通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推演呈現(xiàn)出來的。這與高中物理直接給出基本定理、規(guī)律的教學(xué)模式完全不同，它更具普遍性，也更符合物理思維模式。然而，學(xué)生通過三年高中物理的學(xué)習(xí)，已經(jīng)習(xí)慣了高中物理教學(xué)模式和思維模式，對力學(xué)基本定理、規(guī)律的推演過程不重視，解題過程總是習(xí)慣采用高中思維模式，不愿意嘗試采用以微積分為基礎(chǔ)的更一般化的思維來處理力學(xué)問題。這樣很容易導(dǎo)致力學(xué)課程僅成為高中物理力學(xué)知識的簡單補(bǔ)充或擴(kuò)充，達(dá)不到建立以微積分為基礎(chǔ)的更具系統(tǒng)性、普遍性和邏輯性的經(jīng)典力學(xué)理論體系的要求，也難以達(dá)到通過力學(xué)課程的學(xué)習(xí)培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生物理思維的目的，更直接的后果往往是到了力學(xué)課程中后期，對一些較為復(fù)雜且必須以微積分為基礎(chǔ)的力學(xué)問題，很多學(xué)生就感覺力不從心，嚴(yán)重影響一些核心知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)和掌握。

1．3注重知識的積累，忽視了知識的消化和內(nèi)化力學(xué)課程包含質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)、質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)、動量及動量守恒定律、動能及機(jī)械能守恒定律、角動量及角動量守恒定律、剛體力學(xué)、流體力學(xué)、振動、波動以及相對論力學(xué)等內(nèi)容。雖然課程知識點(diǎn)多、定理多、公式多，但是這些知識之間有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，其中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)是基礎(chǔ)和核心，通過質(zhì)點(diǎn)系可以引申到其他大部分知識點(diǎn)。此外，微分和積分的思想與力學(xué)基本物理量、基本定理和定律的建立密切相關(guān)，利用微積分思想可以將很多物理知識點(diǎn)關(guān)聯(lián)在一起理解。然而，學(xué)生在力學(xué)課程學(xué)習(xí)過程中往往只注重這些具體知識點(diǎn)的理解和掌握，忽視了它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，致使學(xué)生往往學(xué)完力學(xué)課程后感覺所學(xué)知識太零碎，不成體系，印象不深刻，理解不透徹，更達(dá)不到舉一反三、觸類旁通的效果。

2力學(xué)教學(xué)改革的探索

2．1合理規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容和方法，突出重點(diǎn)和特色

筆者所在學(xué)院物理學(xué)專業(yè)力學(xué)課程近年來一直采用高等教育出版社出版的文獻(xiàn)作為教材。該教材也是目前國內(nèi)物理學(xué)專業(yè)力學(xué)課程使用最多的教材之一，其內(nèi)容豐富、全面，包含了物理學(xué)和力學(xué)、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)、三大守恒定律、萬有引力定律、剛體力學(xué)、振動和波動、流體力學(xué)以及相對論簡介，共11章的內(nèi)容。根據(jù)長期的教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)力學(xué)課程的這些知識點(diǎn)大致可以分為三類。第一類，如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)、動量和機(jī)械能及其守恒定律等，這些內(nèi)容是高中物理核心內(nèi)容，學(xué)生對知識點(diǎn)很熟悉，有較好的基礎(chǔ)，只需引入微積分思想，建立以微積分為基礎(chǔ)的知識體系和思維模式。第二類，如角動量及其守恒定律、剛體力學(xué)等，這些內(nèi)容是學(xué)生比較陌生的全新知識點(diǎn)，也是力學(xué)課程中的難點(diǎn)部分，需要學(xué)生重點(diǎn)把握。第三類，如流體力學(xué)、相對論等，這些知識點(diǎn)只是作為完整力學(xué)課程體系進(jìn)行了簡要介紹，如果要全面掌握這些內(nèi)容還需要系統(tǒng)的學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)課程。因此，針對第一類知識點(diǎn)，我們重點(diǎn)突出微積分的基礎(chǔ)作用，重建基本物理概念、定理和定律的過程，以及采用微分或積分的方式處理力學(xué)問題實(shí)例的教學(xué)，而淡化類似高中物理式的知識點(diǎn)的應(yīng)用；針對第二類知識點(diǎn)，我們既重視學(xué)生對基本概念、定理、定律的理解和掌握，知識點(diǎn)理解的強(qiáng)化和深化，也注重知識點(diǎn)的具體應(yīng)用；針對第三類知識點(diǎn)，我們在建立基本概念體系的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。

2．2加強(qiáng)微積分與物理思維的融合，培養(yǎng)學(xué)生物理思維

建立以微積分為基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)體系，并在此過程中培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生物理思維是力學(xué)課程的核心任務(wù)和目標(biāo)，為此，我們從三個層次強(qiáng)化微積分與力學(xué)知識以及物理思維的融合。首先，強(qiáng)化基本物理量的微分或積分定義，以及基本定理、定律的推演過程的講解，使學(xué)生逐漸體會細(xì)分后取極限構(gòu)建基本物理量的思維方式和方法，領(lǐng)會基于導(dǎo)數(shù)和積分幾何意義所表示物理量、物理定理和定律的本質(zhì)及具體內(nèi)涵，感受基于微積分的力學(xué)知識表述的簡潔性、準(zhǔn)確性和一般性。其次，利用一定量的例題和練習(xí)題教導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用求導(dǎo)和積分的方法處理力學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生逐漸習(xí)慣以微積分為基礎(chǔ)的力學(xué)思維方式。在此過程中，要著重注意物理量方向?qū)?shù)的計算和積分上下限的確定。前者為對矢量求導(dǎo)，學(xué)生一般不熟練，且物理意義也較為難懂一些，需要重點(diǎn)講解，使學(xué)生既理解物理內(nèi)涵又熟悉計算方法；后者需要將高等數(shù)學(xué)中的定積分與一個具體物理過程對應(yīng)起來，以該物理過程的初態(tài)和末態(tài)來確定積分的上下限，需要結(jié)合具體例題和練習(xí)題有針對性地進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生能夠靈活處理關(guān)于某一物理過程的積分問題。最后，利用微積分的內(nèi)涵將不同物理量、物理定理和定律聯(lián)系起來，體會這些物理量、物理定理和定律的共同特征，更深層次的理解他們的物理內(nèi)涵。例如，力函數(shù)對時間和空間的積累分別對應(yīng)沖量和功，雖然二者物理含義不同，但其實(shí)都是力函數(shù)對自變量的積分，只不過積分對象不同。顯然，若是將二者統(tǒng)一起來，學(xué)生將對力的作用效果的理解更加深刻，也會進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對沖量、功的概念以及質(zhì)點(diǎn)動量定理和動能定理的掌握。又如，守恒量從微積分角度來說就是其對時間的導(dǎo)數(shù)為0，以此來理解動量、機(jī)械能和角動量三大守恒定律自然更加深刻、透徹，也更能在具體應(yīng)用中達(dá)到舉一反三的效果。

2．3借助知識之間的關(guān)聯(lián)性，開拓思維，促進(jìn)知識的二次消化

剖析力學(xué)課程中各研究對象、知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，找出其共性、相似性以及差異，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的理解和把握，而且可以促進(jìn)學(xué)生的自主思考，開拓思維，實(shí)現(xiàn)對知識的二次吸收和消化。為此，我們首先從質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體以及理想流體這些力學(xué)課程非常重要的理論模型和研究對象入手，通過理清他們之間的內(nèi)在關(guān)系，調(diào)動學(xué)生主動思考，嘗試對知識點(diǎn)進(jìn)行外延式和內(nèi)涵式拓展，促進(jìn)學(xué)生對知識點(diǎn)進(jìn)行遷移、融合，從而達(dá)到對知識的二次吸收和消化，建立更加完整、有機(jī)的經(jīng)典力學(xué)體系。在這個過程中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)是基礎(chǔ)，將其拓展到質(zhì)點(diǎn)系是關(guān)鍵。在從質(zhì)點(diǎn)拓展到質(zhì)點(diǎn)系過程中，要著重注意內(nèi)力和外力的處理以及借助高中物理熟悉的整體法與隔離法使用技巧。有了比較扎實(shí)的質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)知識后，再將剛體和理想流體看成是特定質(zhì)點(diǎn)系，引導(dǎo)學(xué)生利用質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)理論分析、處理剛體力學(xué)和流體力學(xué)相關(guān)知識不僅可以達(dá)到事半功倍效果，而且有利于學(xué)生對經(jīng)典力學(xué)整體性和系統(tǒng)性的理解。其次，我們將一些相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行對比、對照，分析其共同性、差異性以及內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解知識的內(nèi)涵和外延，達(dá)到融會貫通、舉一反三的效果。例如，將質(zhì)點(diǎn)平動的概念、定理和定律與剛體轉(zhuǎn)動的概念、定理和定律進(jìn)行對比、對照，并借助線量與角量間的關(guān)系將二者有機(jī)聯(lián)系起來，利用學(xué)生熟悉的平動知識不僅會極大促進(jìn)學(xué)生對剛體轉(zhuǎn)動的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，也會促進(jìn)他們對整個經(jīng)典力學(xué)體系更深刻的理解。再如，將經(jīng)典時空觀與相對論時空觀進(jìn)行對比分析會使學(xué)生更加容易建立正確力學(xué)時空觀，將不同坐標(biāo)系特征進(jìn)行比較會促進(jìn)學(xué)生對三種坐標(biāo)系更好地理解和選擇等。最后，根據(jù)知識之間關(guān)聯(lián)性，多角度分析、處理問題，開拓學(xué)生思維，加深其對相關(guān)知識點(diǎn)的理解。例如，關(guān)于人在船上行走的問題，可以從牛頓運(yùn)動定律、動量守恒以及質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動定理三個角度來分析、處理，這樣既解決了具體問題，又將牛頓運(yùn)動定律、動量守恒定律以及質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動定理有機(jī)聯(lián)系起來進(jìn)行了一次對比和比較，增強(qiáng)了學(xué)生對它們的理解。又如單擺做簡諧振動的證明，可以從其所受的動力矩、滿足的動力學(xué)方程以及表現(xiàn)的運(yùn)動方程三個方面進(jìn)行證明，從而加深學(xué)生對簡諧振動本質(zhì)的理解。

2．4結(jié)合科研和實(shí)踐以及計算機(jī)輔助開展教學(xué)，激發(fā)興趣，拓展思維和視野

結(jié)合教師自身科研，設(shè)計一些“科研小題目”，展示經(jīng)典力學(xué)在其中的具體應(yīng)用，不僅使學(xué)生切身感受到經(jīng)典力學(xué)重要性和生命力，極大地激發(fā)學(xué)生力學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣，而且可以拓展學(xué)生思維和視野，增強(qiáng)其專業(yè)學(xué)習(xí)的熱情和信心。例如，在關(guān)于牛頓第二定律的應(yīng)用中，以強(qiáng)場物理中經(jīng)典模型為例向?qū)W生展示即使是在微觀粒子與飛秒激光脈沖相互作用的情景下，牛頓力學(xué)也可以描述其很多重要特征和特性，可以大大減少牛頓力學(xué)在學(xué)生心目中“老、舊、土”的形象，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，再輔以計算在激光場中不同時刻釋放的電子能否返回初始位置及其返回初始位置時動能的練習(xí)，可以使學(xué)生更好地理解和掌握牛頓第二運(yùn)動定律的應(yīng)用。此外，引入一些利用力學(xué)知識處理日常生活中相關(guān)力學(xué)問題的具體實(shí)例，如騎自行車下坡時為什么不能突然剎前輪，將繩子在樹樁上纏幾圈后在繩子一端只需很小的力就可以拉住繩子另一端很重的物體等等；不僅可以激發(fā)學(xué)生積極主動地將力學(xué)知識學(xué)以致用的熱情和興趣，而且還可以通過這些具體實(shí)例培養(yǎng)學(xué)生通過抽象建模處理實(shí)際問題的物理思維。最后，通過一些通俗易懂的計算機(jī)軟件，如Matlab、Math－ematica等進(jìn)行輔助教學(xué)，將一些力學(xué)現(xiàn)象、力學(xué)規(guī)律和計算結(jié)果等用可視化圖像甚至動態(tài)視頻展現(xiàn)出來幫助學(xué)生理解、消化，或引導(dǎo)學(xué)生自己進(jìn)行類似的嘗試，也將增強(qiáng)學(xué)生力學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對相關(guān)力學(xué)知識的理解。例如，在討論簡諧振動的合成時與分解時，我們通過Matlab軟件直觀地畫各簡諧振動及其合成的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡來進(jìn)行分析，學(xué)生感覺即真切又有趣，顯著提升了教學(xué)的效果。

篇2

關(guān)鍵詞：高中;物理;教學(xué)

高中物理是相對較難的學(xué)科，太多的基本概念、基本規(guī)律，難以記憶而且容易混淆。正因?yàn)槿绱耍徊糠謱W(xué)生感覺學(xué)習(xí)物理越來越難，越來越吃力，慢慢地學(xué)習(xí)成績越來越差，學(xué)習(xí)興趣越來越低。高中物理知識的學(xué)習(xí)是一個循序漸進(jìn)的、漫長的過程，教師要注重對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生始終保持對物理的濃厚興趣，相信這樣堅持下來學(xué)生的物理成績會越來越好。

作為高中物理教師，我認(rèn)為對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)是非常必要的，不管是課前預(yù)習(xí)，是上課，還是課后復(fù)習(xí)。下面我談一談我對物理教學(xué)的一些想法。

一、重視基本概念、基本規(guī)律

對基本概念、基本規(guī)律要讓學(xué)生理解清楚， 弄清本質(zhì)， 理清相關(guān)概念和相關(guān)規(guī)律之間的聯(lián)系，對物理概念從定義式、變形式、計算式以及物理意義、單位、矢標(biāo)性等方面全面掌握， 對定理、定律的理解從實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)、基本內(nèi)容、公式形式、適用條件等全面分析。物理概念是物理知識的重要組成部分。 物理概念有嚴(yán)格的科學(xué)界定。 同一物理概念在不同的物理學(xué)識水平階段嚴(yán)密的程度不同。 一些能力較差的學(xué)生對物理概念的界定模糊不清， 思維混亂，解題注意分配不合理。 如： 質(zhì)點(diǎn)的位置、位移、速度、加速度及其時間是描述運(yùn)動學(xué)的物理量， 幾個物理量之間有密切的聯(lián)系 。 位移是描述物置變化的物理量， 速度是描述物置變化快慢的物理量，而加速度是描述物體速度變化快慢的物理量。

勻 變 速 直 線運(yùn)動公式， 拋體運(yùn)動公式， 勻速圓周運(yùn)動公式等，都是我們在研究運(yùn)動學(xué)動力學(xué)問題時常常要用到的 。從動力學(xué)角度看運(yùn)動學(xué)概念、規(guī)律能加深理解， 能知道它的本質(zhì)。 如：加速度是力產(chǎn)生的，它建立了運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系;拋體運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下的加速度恒定的曲線運(yùn)動;簡諧運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下的運(yùn)動等.

二、注重物理思想、解題方法的指導(dǎo)

物理方法是物理思想的具體表現(xiàn)。 研究物理的方法很多，如有觀察法、實(shí)驗(yàn)法、假設(shè)法、極限法、類比法、比較法、分析法、綜合法、控制變量法、圖象法、歸納法、總結(jié)法、發(fā)散思維法、抽象思維法、逆向思維法、模擬想象法、知識遷移法、數(shù)學(xué)演變法等。

極限法是利用物理的某些臨界條件來處理物理問題的一種方法，也叫臨界（或邊界）條件法。 在一些物理的運(yùn)動狀態(tài)變化過程中，往往達(dá)到某個特定的狀態(tài)（臨界狀態(tài)）時， 有關(guān)的物理量將要發(fā)生突變， 此狀態(tài)叫臨界狀態(tài)， 這時有臨界值。 如果題目中出現(xiàn)如“最大、最小、至少、恰好、滿足什么條件”等一類詞語時， 一般都有臨界狀態(tài)，可以利用臨界條件值作為解題思路的起點(diǎn)， 設(shè)法求出臨界值， 再作分析討論得出結(jié)果。 此方法是一種很有用的思考途徑，關(guān)鍵在于抓住滿足的臨界條件，準(zhǔn)確地分析物理過程。

類比法是指通過對內(nèi)容相似、或形式相似、或方法相似的一類不同問題的比較來區(qū)別它們異同點(diǎn)的方法。 這種方法往往用于幫助理解， 記憶、區(qū)別物理概念、規(guī)律、公式很有好處。 通常用于同類不同問題的比較。 如： 電場和磁場，電路的串聯(lián)和并聯(lián)， 動能和動量，動能定理和動量定理，單位物理量的形式（如單位體積的質(zhì)量、單位面積的壓力）等的比較。

而比較法可以是不同類的比較，更有廣義性。 比如數(shù)學(xué)中曲線的斜率在物理圖象里表示的物理意義是不同的， 應(yīng)學(xué)會比較， 有比較才能有區(qū)別。

三、引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生表述解題過程

篇3

力學(xué)可粗分為靜力學(xué)、運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)三部分，靜力學(xué)研究力的平衡或物體的靜止問題；運(yùn)動學(xué)只考慮物體怎樣運(yùn)動，不討論它與所受力的關(guān)系；動力學(xué)討論物體運(yùn)動和所受力的關(guān)系。

力學(xué)也可按所研究對象區(qū)分為固體力學(xué)、流體力學(xué)和一般力學(xué)三個分支，流體包括液體和氣體；固體力學(xué)和流體力學(xué)可統(tǒng)稱為連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，它們通常都采用連續(xù)介質(zhì)的模型。固體力學(xué)和流體力學(xué)從力學(xué)分出后，余下的部分組成一般力學(xué)。

一般力學(xué)通常是指以質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體、剛體系為研究對象的力學(xué)，有時還把抽象的動力學(xué)系統(tǒng)也作為研究對象。一般力學(xué)除了研究離散系統(tǒng)的基本力學(xué)規(guī)律外，還研究某些與現(xiàn)代工程技術(shù)有關(guān)的新興學(xué)科的理論。

一般力學(xué)、固體力學(xué)和流體力學(xué)這三個主要分支在發(fā)展過程中，又因?qū)ο蠡蚰Ｐ偷牟煌霈F(xiàn)了一些分支學(xué)科和研究領(lǐng)域。屬于一般力學(xué)的有理論力學(xué)(狹義的)、分析力學(xué)、外彈道學(xué)、振動理論、剛體動力學(xué)、陀螺力學(xué)、運(yùn)動穩(wěn)定性等；屬于固體力學(xué)的有材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)等；流體力學(xué)是由早期的水力學(xué)和水動力學(xué)這兩個風(fēng)格迥異的分支匯合而成，現(xiàn)在則有空氣動力學(xué)、氣體動力學(xué)、多相流體力學(xué)、滲流力學(xué)、非牛頓流體力學(xué)等分支。各分支學(xué)科間的交*結(jié)果又產(chǎn)生粘彈性理論、流變學(xué)、氣動彈性力學(xué)等。

力學(xué)也可按研究時所采用的主要手段區(qū)分為三個方面：理論分析、實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計算。實(shí)驗(yàn)力學(xué)包括實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析、水動力學(xué)實(shí)驗(yàn)和空氣動力實(shí)驗(yàn)等。著重用數(shù)值計算手段的計算力學(xué)，是廣泛使用電子計算機(jī)后才出現(xiàn)的，其中有計算結(jié)構(gòu)力學(xué)、計算流體力學(xué)等。對一個具體的力學(xué)課題或研究項(xiàng)目，往往需要理論、實(shí)驗(yàn)和計算這三方面的相互配合。

力學(xué)在工程技術(shù)方面的應(yīng)用結(jié)果形成工程力學(xué)或應(yīng)用力學(xué)的各種分支，諸如土力學(xué)、巖石力學(xué)、爆炸力學(xué)復(fù)合材料力學(xué)、工業(yè)空氣動力學(xué)、環(huán)境空氣動力學(xué)等。

力學(xué)和其他基礎(chǔ)科學(xué)的結(jié)合也產(chǎn)生一些交又性的分支，最早的是和天文學(xué)結(jié)合產(chǎn)生的天體力學(xué)。在20世紀(jì)特別是60年代以來，出現(xiàn)更多的這類交*分支，其中有物理力學(xué)、化學(xué)流體動力學(xué)、等離子體動力學(xué)、電流體動力學(xué)、磁流體力學(xué)、熱彈性力學(xué)、理性力學(xué)、生物力學(xué)、生物流變學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、地球動力學(xué)、地球構(gòu)造動力學(xué)、地球流體力學(xué)等。

運(yùn)動學(xué)發(fā)展簡史

運(yùn)動學(xué)是理論力學(xué)的一個分支學(xué)科，它是運(yùn)用幾何學(xué)的方法來研究物體的運(yùn)動，通常不考慮力和質(zhì)量等因素的影響。至于物體的運(yùn)動和力的關(guān)系，則是動力學(xué)的研究課題。

用幾何方法描述物體的運(yùn)動必須確定一個參照系，因此，單純從運(yùn)動學(xué)的觀點(diǎn)看，對任何運(yùn)動的描述都是相對的。這里，運(yùn)動的相對性是指經(jīng)典力學(xué)范疇內(nèi)的，即在不同的參照系中時間和空間的量度相同，和參照系的運(yùn)動無關(guān)。不過當(dāng)物體的速度接近光速時，時間和空間的量度就同參照系有關(guān)了。這里的“運(yùn)動”指機(jī)械運(yùn)動，即物置的改變；所謂“從幾何的角度”是指不涉及物體本身的物理性質(zhì)(如質(zhì)量等)和加在物體上的力。

運(yùn)動學(xué)主要研究點(diǎn)和剛體的運(yùn)動規(guī)律。點(diǎn)是指沒有大小和質(zhì)量、在空間占據(jù)一定位置的幾何點(diǎn)。剛體是沒有質(zhì)量、不變形、但有一定形狀、占據(jù)空間一定位置的形體。運(yùn)動學(xué)包括點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)和剛體運(yùn)動學(xué)兩部分。掌握了這兩類運(yùn)動，才可能進(jìn)一步研究變形體(彈性體、流體等)的運(yùn)動。

在變形體研究中，須把物體中微團(tuán)的剛性位移和應(yīng)變分開。點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)研究點(diǎn)的運(yùn)動方程、軌跡、位移、速度、加速度等運(yùn)動特征，這些都隨所選的參考系不同而異；而剛體運(yùn)動學(xué)還要研究剛體本身的轉(zhuǎn)動過程、角速度、角加速度等更復(fù)雜些的運(yùn)動特征。剛體運(yùn)動按運(yùn)動的特性又可分為：剛體的平動、剛體定軸轉(zhuǎn)動、剛體平面運(yùn)動、剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動和剛體一般運(yùn)動。

運(yùn)動學(xué)為動力學(xué)、機(jī)械原理(機(jī)械學(xué))提供理論基礎(chǔ)，也包含有自然科學(xué)和工程技術(shù)很多學(xué)科所必需的基本知識。

運(yùn)動學(xué)的發(fā)展歷史

運(yùn)動學(xué)在發(fā)展的初期，從屬于動力學(xué)，隨著動力學(xué)而發(fā)展。古代，人們通過對地面物體和天體運(yùn)動的觀察，逐漸形成了物體在空間中位置的變化和時間的概念。中國戰(zhàn)國時期在《墨經(jīng)》中已有關(guān)于運(yùn)動和時間先后的描述。亞里士多德在《物理學(xué)》中討論了落體運(yùn)動和圓運(yùn)動，已有了速度的概念。

伽利略發(fā)現(xiàn)了等加速直線運(yùn)動中，距離與時間二次方成正比的規(guī)律，建立了加速度的概念。在對彈射體運(yùn)動的研究中，他得出拋物線軌跡，并建立了運(yùn)動(或速度)合成的平行四邊形法則，伽利略為點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)奠定了基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，惠更斯在對擺的運(yùn)動和牛頓在對天體運(yùn)動的研究中，各自獨(dú)立地提出了離心力的概念，從而發(fā)現(xiàn)了向心加速度與速度的二次方成正比、同半徑成反比的規(guī)律。

18世紀(jì)后期，由于天文學(xué)、造船業(yè)和機(jī)械業(yè)的發(fā)展和需要，歐拉用幾何方法系統(tǒng)地研究了剛體的定軸轉(zhuǎn)動和剛體的定點(diǎn)運(yùn)動問題，提出了后人用他的姓氏命名的歐拉角的概念，建立了歐拉運(yùn)動學(xué)方程和剛體有限轉(zhuǎn)動位移定理，并由此得到剛體瞬時轉(zhuǎn)動軸和瞬時角速度矢量的概念，深刻地揭示了這種復(fù)雜運(yùn)動形式的基本運(yùn)動特征。所以歐拉可稱為剛體運(yùn)動學(xué)的奠基人。

此后，拉格朗日和漢密爾頓分別引入了廣義坐標(biāo)、廣義速度和廣義動量，為在多維位形空間和相空間中用幾何方法描述多自由度質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動開辟了新的途徑，促進(jìn)了分析動力學(xué)的發(fā)展。

19世紀(jì)末以來，為了適應(yīng)不同生產(chǎn)需要、完成不同動作的各種機(jī)器相繼出現(xiàn)并廣泛使用，于是，機(jī)構(gòu)學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。機(jī)構(gòu)學(xué)的任務(wù)是分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律，根據(jù)需要實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動設(shè)計新的機(jī)構(gòu)和進(jìn)行機(jī)構(gòu)的綜合。現(xiàn)代儀器和自動化技術(shù)的發(fā)展又促進(jìn)機(jī)構(gòu)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，提出了各種平面和空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析和綜合的問題，作為機(jī)構(gòu)學(xué)的理論基礎(chǔ)，運(yùn)動學(xué)已逐漸脫離動力學(xué)而成為經(jīng)典力學(xué)中一個獨(dú)立的分支。

固體力學(xué)發(fā)展簡史

固體力學(xué)是力學(xué)中形成較早、理論性較強(qiáng)、應(yīng)用較廣的一個分支，它主要研究可變形固體在外界因素(如載荷、溫度、濕度等)作用下，其內(nèi)部各個質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的位移、運(yùn)動、應(yīng)力、應(yīng)變以及破壞等的規(guī)律。

固體力學(xué)研究的內(nèi)容既有彈性問題，又有塑性問題；既有線性問題，又有非線性問題。在固體力學(xué)的早期研究中，一般多假設(shè)物體是均勻連續(xù)介質(zhì)，但近年來發(fā)展起來的復(fù)合材料力學(xué)和斷裂力學(xué)擴(kuò)大了研究范圍，它們分別研究非均勻連續(xù)體和含有裂紋的非連續(xù)體.

自然界中存在著大至天體，小至粒子的固態(tài)物體和各種固體力學(xué)問題。人所共知的山崩地裂、滄海桑田都與固體力學(xué)有關(guān)。現(xiàn)代工程中，無論是飛行器、船舶、坦克，還是房屋、橋梁、水壩、原子反應(yīng)堆以及日用家具，其結(jié)構(gòu)設(shè)計和計算都應(yīng)用了固體力學(xué)的原理和計算方法。

由于工程范圍的不斷擴(kuò)大和科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，固體力學(xué)也在發(fā)展，一方面要繼承傳統(tǒng)的有用的經(jīng)典理論，另一方面為適應(yīng)各們現(xiàn)代工程的特點(diǎn)而建立新的理論和方法。

固體力學(xué)的研究對象按照物體形狀可分為桿件、板殼、空間體、薄壁桿件四類。薄壁桿件是指長寬厚尺寸都不是同量級的固體物件。在飛行器、船舶和建筑等工程結(jié)構(gòu)中都廣泛采用了薄壁桿件。

固體力學(xué)的發(fā)展歷史

萌芽時期 遠(yuǎn)在公元前二千多年前，中國和世界其他文明古國就開始建造有力學(xué)思想的建筑物、簡單的車船和狩獵工具等。中國在隋開皇中期(公元591～599年)建造的趙州石拱橋，已蘊(yùn)含了近代桿、板、殼體設(shè)計的一些基本思想。

隨著實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累和工藝精度的提高，人類在房屋建筑、橋梁和船舶建造方面都不斷取得輝煌的成就，但早期的關(guān)于強(qiáng)度計算或經(jīng)驗(yàn)估算等方面的許多資料并沒有流傳下來。盡管如此，這些成就還是為較早發(fā)展起來的固體力學(xué)理論，特別是為后來劃歸材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)那些理論奠定了基礎(chǔ)。

發(fā)展時期 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累和17世紀(jì)物理學(xué)的成就，為固體力學(xué)理論的發(fā)展準(zhǔn)備了條件。在18世紀(jì)，制造大型機(jī)器、建造大型橋梁和大型廠房這些社會需要，成為固體力學(xué)發(fā)展的推動力。

這期間，固體力學(xué)理論的發(fā)展也經(jīng)歷了四個階段：基本概念形成的階段；解決特殊問題的階段；建立一般理論、原理、方法、數(shù)學(xué)方程的階段；探討復(fù)雜問題的階段。在這一時期，固體力學(xué)基本上是沿著研究彈性規(guī)律和研究塑性規(guī)律，這樣兩條平行的道路發(fā)展的，而彈性規(guī)律的研究開始較早。

彈性固體的力學(xué)理論是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上于17世紀(jì)發(fā)展起來的。英國的胡克于1678年提出：物體的變形與所受外載荷成正比，后稱為胡克定律；瑞士的雅各布第一·伯努利在17世紀(jì)末提出關(guān)于彈性桿的撓度曲線的概念；而丹尼爾第一·伯努利于18世紀(jì)中期，首先導(dǎo)出棱柱桿側(cè)向振動的微分方程；瑞士的歐拉于1744年建立了受壓柱體失穩(wěn)臨界值的公式，又于1757年建立了柱體受壓的微分方程，從而成為第一個研究穩(wěn)定性問題的學(xué)者；法國的庫侖在1773年提出了材料強(qiáng)度理論，他還在1784年研究了扭轉(zhuǎn)問題并提出剪切的概念。這些研究成果為深入研究彈性固體的力學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。

法國的納維于1820年研究了薄板彎曲問題，并于次年發(fā)表了彈性力學(xué)的基本方程；法國的柯西于1822年給出應(yīng)力和應(yīng)變的嚴(yán)格定義，并于次年導(dǎo)出矩形六面體微元的平衡微分方程。柯西提出的應(yīng)力和應(yīng)變概念，對后來數(shù)學(xué)彈性理論，乃至整個固體力學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

法國的泊阿松于1829年得出了受橫向載荷平板的撓度方程；1855年，法國的圣維南用半逆解法解出了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問題，并提出了有名的圣維南原理；隨后，德國的諾伊曼建立了三維彈性理論，并建立了研究圓軸縱向振動的較完善的方法；德國的基爾霍夫提出粱的平截面假設(shè)和板殼的直法線假設(shè)，他還建立了板殼的準(zhǔn)確邊界條件并導(dǎo)出了平板彎曲方程；英國的麥克斯韋在19世紀(jì)50年代，發(fā)展了光測彈性的應(yīng)力分析技術(shù)后，又于1864年對只有兩個力的簡單情況提出了功的互等定理，隨后，意大利的貝蒂于1872年對該定理加以普遍證明；意大利的卡斯蒂利亞諾于1873年提出了卡氏第一和卡氏第二定理；德國的恩蓋塞于1884年提出了余能的概念。

德國的普朗特于1903年提出了解扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法；鐵木辛柯在20世紀(jì)初，用能量原理解決了許多桿板、殼的穩(wěn)定性問題；匈牙利的卡門首先建立了彈性平板非線性的基本微分方程，為以后研究非線性問題開辟了道路。

蘇聯(lián)的穆斯赫利什維利于1933年發(fā)表了彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)方法；美國的唐奈于同一年研究了圓柱形殼在扭力作用下的穩(wěn)定性問題，并在后來建立了唐奈方程；弗呂格于1932年和1934年發(fā)表了圓柱形薄殼的穩(wěn)定性和彎曲的研究成果；蘇聯(lián)的符拉索夫在1940年前后建立了薄壁桿、折板系、扁殼等二維結(jié)構(gòu)的一般理論。

在飛行器、艦艇、原子反應(yīng)堆和大型建筑等結(jié)構(gòu)的高精度要求下，有很多學(xué)者參加了力學(xué)研究工作，并解決了大量復(fù)雜問題。此外，彈性固體的力學(xué)理論還不斷滲透到其他領(lǐng)域，如用于紡織纖維、人體骨骼、心臟、血管等方面的研究。

1773年庫侖提出土的屈服條件，這是人類定量研究塑性問題的開端。1864年特雷斯卡在對金屬材料研究的基礎(chǔ)上，提出了最大剪應(yīng)力屈服條件，它和后來德國的光澤斯于1913年提出的最大形變比能屈服條件，是塑性理論中兩個最重要的屈服條件。19世紀(jì)60年代末、70年代初，圣維南提出塑性理論的基本假設(shè)，并建立了它的基本方程，他還解決了一些簡單的塑性變形問題。

現(xiàn)代固體力學(xué)時期 指的是第二次世界大戰(zhàn)以后的時期，這個時期固體力學(xué)的發(fā)展有兩個特征：一是有限元法和電子計算機(jī)在固體力學(xué)中得到廣泛應(yīng)用；二是出現(xiàn)了兩個新的分支——斷裂力學(xué)和復(fù)合材料力學(xué)。

特納等人于1956年提出有限元法的概念后，有限元法發(fā)展很快，在固體力學(xué)中大量應(yīng)用，解決了很多復(fù)雜的問題。

篇4

一、應(yīng)用牛頓第二定律解題的一般步驟

（1）確定研究對象，分析它的受力情況，畫出受力圖。注意不能遺漏任何一個力，又要避免重復(fù)，因?yàn)槲矬w最終所獲得的加速度為所有外力共同作用的結(jié)果。

（2）找出所受外力的合力表達(dá)式，采用正交分解。通常其中一坐標(biāo)軸選為加速度所在的方向比較容易計算。

（3）應(yīng)用牛頓第二定律列出方程，求解作答。在求解過程中，一般先進(jìn)行字母運(yùn)算，得出解答的一般形式，然后再代入數(shù)值進(jìn)行計算，這樣不但可以減少煩瑣的數(shù)字運(yùn)算，而且還能獲得題中相關(guān)量之間的變化關(guān)系。

（4）對結(jié)果在各種條件下進(jìn)行討論，達(dá)到舉一反三的效果。

二、單個質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)問題

例1、一木塊能在與水平面成α角的斜面上勻速滑下，若使它以初速度v0沿此斜面向上滑動，試證它能上滑的最大距離

解：（1）先分析木塊勻速下滑的過程，木塊受重力G、彈力N，動摩擦力f，如圖1-a所示，運(yùn)用正交分解有

又f=u?N

解得：

（2）用同樣的方法分析木塊的勻減速上滑過程，受力如圖1-b所示，根據(jù)牛頓第二定律得：

其中f=u?N=G?sinα

解得：a=2g?sinα（1）

由運(yùn)動力學(xué)規(guī)律和（1）式得：

v02=2a?s

討論：①如果tanα=u，即斜面傾角滿足此條件式時，木塊正好能勻速下滑。

②如果tanα>u，物體將勻加速下滑。

③如果tanα

三、多個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的物體系的動力學(xué)問題

上面討論的是單個質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)問題，但是在實(shí)際問題中，會經(jīng)常遇到幾個有相互作用力的物體系的動力學(xué)問題，這種情況一般都采用“隔離法”來求解。

所謂“隔離法”就是根據(jù)需要把研究對象從整個物體系中“隔離”出來，當(dāng)作單個質(zhì)點(diǎn)問題審查處理。具體步驟如下：

（1）選擇“隔離體”。一般先選已知條件比較齊全的物體作為“隔離體”，后選其它的物體。

（2）根據(jù)牛頓第二定律解題的一般步驟，對每一個“隔離體”運(yùn)用正交分解法列方程。

（3）如果獨(dú)立方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)時，要考慮相互聯(lián)系著的個體之間的作用力與反作用力的相等關(guān)系。

（4）為了解答相互聯(lián)系著的物體的動力學(xué)問題，還必須寫出由運(yùn)動學(xué)條件所確定的各“隔離體”之間的加速度關(guān)系。通常情況下，各連接體的位移、速度、加速度全都相等。

例2、一條輕繩子跨過定滑輪，在輕繩子的兩端各掛有物體A、B，如圖-2示，已知mA=0.5kg，mB=0.1kg，開始時物體A離地面h=35cm。

求：（1）A物體下落的加速度大小？

（2）A物體落地時的速度大小？

（3）A物體落地后，B物體還能繼續(xù)上升多高？

解：（1）根據(jù)牛頓第二定律有：

對于A：GA-T=mA?aA①

對于B：T-GB=mB?aB②

據(jù)題意有aA=aB=a，由①+②得GA-GB=（mA+mB ）?a③

③式所表達(dá)的含義是將A和B視為一整體，內(nèi)部之間通過繩子的相互作用力已彼此抵消，運(yùn)用牛頓第二定律得出的結(jié)果，即：A+B=AB.

（2）A物體拖著B物體從靜止開始勻加速下降，加速距離為h，最終得到的落地末速度為：

（3）A物體著地后，繩子失去對B的拉力，B僅受重力，開始以初速度Vt作豎直上拋運(yùn)動，直至速度減為0

例3、質(zhì)量m1=4kg和m2=8kg的兩個物體，用一輕繩相連，沿著傾角為30°的斜面下滑，如圖-3示，若m1與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.25，而m2與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.50。

求：（1）各個物體的加速度？

（2）繩的拉力？

解：（1）由于繩的牽連，m1和m2具有相同的加速度a，可視為整體，如圖-3a示，根據(jù)牛頓第二定律有：

（m1?gsin30°+m2?gsin30°）-（m1?gcos30°u1+m2?gcos30°u2）=（m1+m2）?a

上式第一項(xiàng)g?sin30°為重力的分力――下滑力產(chǎn)生的沿斜面向下的加速度，后面兩項(xiàng)和為動摩擦力產(chǎn)生的沿斜面向上的加速度。可見每個力都對加速度有貢獻(xiàn)，少算或多算任何一個力都不行，因?yàn)檫@相當(dāng)于少算或多算了它們各自對加速度的貢獻(xiàn)，肯定是錯的。

（2）要計算繩子的拉力，需從繩子處分割開，單獨(dú)研究m1或m2，把繩子的拉力變成它們的外力才可以。因?yàn)閮?nèi)力是物體內(nèi)部各部分之間的力，彼此間抵消，對整個物體不產(chǎn)生加速度效應(yīng)。只有外來的力才一定對物體產(chǎn)生一定的加速度。

“隔離”出m1，受力如圖-3b示：

根據(jù)牛頓第二定律有：

對于連接體問題，一般先采用“整體法”求出加速度，再用“隔離法”求出彼此之間的作用力。要得出正確的結(jié)果，準(zhǔn)確的受力分析是關(guān)鍵。

拓展思考：如果兩物體與斜面間摩擦因數(shù)相等，兩物體將如何運(yùn)動？T是多大？

例4、如圖-4，A靜止于光滑的水平面上，板A與物體B質(zhì)量依次為M、m，若物體相對于水平面的初速度為v0，物體B與A板間的動摩擦因數(shù)為u，A木板長為L，B物體的長度忽略不計，求：（1）物體A和B板的加速度；（2）初速度v0滿足什么條件時，物體B最終不從A板上滑下來。

解：（1）由于A和B的加速度不相等，只能用“隔離法”單獨(dú)研究，對于A受力如圖-4a示，

對于B，受力如圖-4b示，

u?mg=m?aB

aB=u?g

很顯然彼此之間的動摩擦力雖然相等，但作用在質(zhì)量不等的兩個物體身上，各自獲得加速度并不相等。

（2）要使物體B不從A板上滑下來，必須滿足當(dāng)A和B最終的速度相等再不發(fā)生相對滑動時，B在A上滑過的距離不大于L。

設(shè)它們的最終速度為V，根據(jù)題意有：

篇5

1巧用微積分，化難求為易求

例1質(zhì)點(diǎn)沿Ox坐標(biāo)軸運(yùn)動，它的速度v與x2成正比.已知，質(zhì)點(diǎn)從x1=10 m到x2=20 m其平均速度為v12=1 m/s，求從x2到x3=40 m的平均速度v23及從x1到x3的平均速度v13.

對于高中生來講，這是一道較難的運(yùn)動學(xué)問題，筆者曾拿這道題目給學(xué)校物理成績較好的學(xué)生做，也是能求者少.但是如果引入微積分的知識，這道題目將會比較容易.

解如圖1所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在x時速度v=kx2，在其右側(cè)取一距離元dx，運(yùn)動dx用時dt，則dt=dx1kx2.

因?yàn)関12=1 m/s，所以從x1到x2用時t1=10 s，有

∫t10dt=∫x2x111kv2dx（1）

帶入數(shù)據(jù)可求出k=11200.同樣的質(zhì)點(diǎn)從x2到x3，用時t2滿足

∫t20dt=∫x3x211kv2dx（2）

代入數(shù)據(jù)可求得t2=5 s，所以v23=4 m/s，

還可以求得v13=2 m/s.

2活用微積分，化不可求為可求

例2如圖2所示，質(zhì)量為m的長直桿一端固定在光滑轉(zhuǎn)軸O處，桿由水平靜止釋放，用光電門測出另一端A經(jīng)過某位置時的瞬時速度vA，求桿轉(zhuǎn)動的動能.

解可把細(xì)桿均分成很多小段，每一小段為一質(zhì)量元，桿轉(zhuǎn)動動能等于這許多質(zhì)量元的動能之和.如圖3所示，對于距O點(diǎn)x的質(zhì)元，質(zhì)量為dm=m1Ldx.同一根桿ω相等，所以距O點(diǎn)x的質(zhì)元的速度vm=xω=xxA1L，其動能為

Ekm=112?m1Lx2v2A1L2dx（3）

則桿的動能Ek=∫L0112?m1Lx2v2A1L2dx（4）

積分可得Ek=116mv2A.

長直桿轉(zhuǎn)動動能，在高中階段是沒有辦法計算的，但是在引入微積分之后，從上面的計算過程中我們會發(fā)現(xiàn)求解并不復(fù)雜.

3活用微積分，化知其然為知其所以然

例3如圖4所示，有一圓臺柱狀合金棒電阻率為ρ、長為L、直徑分別為d和D的，求證其電阻為R2=RDRd，其中RD是電阻率為ρ，長度為L，直徑為D的圓柱狀合金棒電阻；Rd是電阻率為ρ，長度為L，直徑為d的圓柱狀合金棒電阻.

解均勻圓臺狀合金棒的截面如圖5，設(shè)距A點(diǎn)為Lx的圓柱體的半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有r=d12+dx，其中的dx滿足

D-d121L=dx1Lx，

可以求得r=d12+dx=d12+Lx（D-d）12L（5）

半徑為r，長為dLx的圓柱體的電阻為ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]，

所以整個圓臺狀金屬導(dǎo)體電阻為

R=∫L0ρdLx1π[d12+Lx（D-d）12L]

=∫L04ρL21π[dL+Lx（D-d）]-2dLx（6）

根據(jù)積分公式可求得

R=4ρl21π?11-1（D-d）（11DL-11dL）=4ρL1π?11Dd（7）

上式可以寫成R=ρL1π（D12）2?ρL1π（d12）2，

也就是R2=RDRd.

例題3來源于2009年江蘇高考試題的第十題，但是題干中R2=RDRd是直接告訴的，只要將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入公式就可以了，所以，學(xué)生只知其然不知其所以然.如果在講解此題過程中，充分應(yīng)用此題素材，把它上升到一個理論高度，不但可以加強(qiáng)學(xué)生的理論探究能力，而且可以加深學(xué)生對微積分思想的理解，那樣就遠(yuǎn)比代公式的作用大的多了.

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關(guān)鍵詞：矢量；微積分；大學(xué)物理

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）09-0067-02

大學(xué)物理是高等院校對理工科學(xué)生必開的一門公共基礎(chǔ)課[1]，使學(xué)生通過物理課程的學(xué)習(xí)樹立科學(xué)的人生觀、價值觀，具備一定的邏輯思維能力和利用物理知識解決問題的能力，同時還可以提高學(xué)生的求知欲和創(chuàng)新能力，對學(xué)生今后的發(fā)展有著舉足輕重的作用。

大學(xué)物理與中學(xué)物理相比研究的問題更接近生產(chǎn)、生活實(shí)際，更具有普遍性，如中學(xué)階段介紹加速運(yùn)動時只涉及到勻加速運(yùn)動，即加速度的大小和方向都不隨時間發(fā)生變化，由牛頓第二定律可知此時所涉及的力也是恒力，最典型的是自由落體運(yùn)動。而生產(chǎn)工作中常遇到的是加速度的大小和方向可能時刻發(fā)生變化，如學(xué)生騎車從宿舍到教室的路上速度的大小和方向就會不停地變化。這種情況必然導(dǎo)致大學(xué)物理研究問題的方式與中學(xué)物理不同。

每學(xué)期上大學(xué)物理緒論課時，學(xué)生翻開課本總會發(fā)現(xiàn)大學(xué)物理課本中有大量的矢量和微積分，事實(shí)上這是中學(xué)物理向大學(xué)物理轉(zhuǎn)變的必然結(jié)果。矢量和微積分貫穿整個大學(xué)物理始終。在塔里木大學(xué)這所綜合性大學(xué)里面，大學(xué)物理通常在大一第二學(xué)期或大二第一學(xué)期開課，這時的學(xué)生經(jīng)過一年高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對矢量和微積分已經(jīng)有了初步的了解，但是在上課過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生還是習(xí)慣于用初等數(shù)學(xué)知識去思考和解決大學(xué)物理問題，將矢量和微積分應(yīng)用到大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中成了學(xué)生普遍認(rèn)為的難點(diǎn)。

一、矢量及微積分在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的重要性

物理學(xué)研究問題總是從簡單到復(fù)雜，從特例到普遍這樣一個過程，大學(xué)物理研究物理問題的過程也不例外。如介紹加速度時從中學(xué)階段的勻加速運(yùn)動開始，然后提出該方法的局限性，引入變加速運(yùn)動，里面又涉及到加速度隨時間變化或隨空間變化，由于在這個過程中加速度是隨時間或空間變化的，才引入矢量及微積分的運(yùn)算。大學(xué)物理的前兩章介紹質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)，為后面其他章節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊，因?yàn)閯傮w、理想氣體、理想流體及點(diǎn)電荷均可看作是由很多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，即先把這些理想化模型進(jìn)行無限分割，每一個小質(zhì)元均可看作一個質(zhì)點(diǎn)，先研究各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況，然后對所有的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動情況進(jìn)行疊加就得到整個理想化模型的運(yùn)動情況，事實(shí)上在對理想化模型進(jìn)行分割的過程就是在進(jìn)行微分，而對所有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動情況進(jìn)行疊加的過程就是在進(jìn)行積分。同時，大學(xué)物理所研究的物理量不再是恒定不變的，如力是變力，會隨空間位置和時間發(fā)生變化，什么情況下力才可以看作恒力呢？當(dāng)對時間或空間進(jìn)行微分時，在無限短的時間或無限小的位移內(nèi)力可以看作是恒力，相應(yīng)的物理過程就趨向于無限小，有限的物理過程就需要對其進(jìn)行積分。由于所研究的物理量不再是恒量，相應(yīng)的中學(xué)階段的標(biāo)量表示方法已不再適用，需要用到矢量來表示。因此矢量和微積分貫穿整個大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程的始終，在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中占有重要的地位。

二、大學(xué)物理初學(xué)者常出現(xiàn)的問題

在中學(xué)階段由于很多情況下研究的力是恒力，即其大小和方向是不發(fā)生變化的，因此通常情況下力采用一個標(biāo)量來表示，同樣情況的還有位移、力矩等，而大學(xué)階段由于通常情況下所研究問題中的力是變力，所以必須用矢量來表示。矢量的合成必須符合三角形法則或平行四邊形法則，大學(xué)物理中矢量的運(yùn)算涉及到矢量的點(diǎn)乘和叉乘，如計算功用到點(diǎn)乘，計算力矩用到叉乘。大學(xué)物理緒論課上筆者會詳細(xì)講三維直角坐標(biāo)系中矢量的點(diǎn)乘與叉乘，要求學(xué)生做好課堂筆記。

微積分思想在大學(xué)物理中應(yīng)用也較多，主要涉及到微分和積分兩部分，這點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)中體現(xiàn)得較典型，在已知位矢表達(dá)式的情況下會通過微分求導(dǎo)的方法求出速度和加速度，同樣的，在已知加速度和初始條件的情況下會通過積分的方法求速度和位矢表達(dá)式。開學(xué)初緒論課上筆者會給出大學(xué)物理中常用到的微積分公式，并要求學(xué)生做一些相關(guān)的習(xí)題。

大學(xué)物理初學(xué)者雖然已經(jīng)在高等數(shù)學(xué)課中學(xué)習(xí)過矢量和微積分，但是要把這些數(shù)學(xué)知識與物理模型結(jié)合起來并不是一個簡單的過程。初學(xué)者常犯的錯誤有以下幾種：對矢量的計算過程中，矢量一會兒就變成了標(biāo)量，往往忘記矢量符號，或者等式的左邊是矢量右邊是標(biāo)量；矢量的點(diǎn)乘與叉乘區(qū)分不開，通常會混淆三維直角坐標(biāo)系中單位矢量之間的點(diǎn)乘與叉乘的結(jié)果；不清楚哪些物理量可以無限分割，往往一個單重積分式中有兩個或多個微分量，不明白這些物理量之間的變換關(guān)系，或者說是對積分式的意義理解不夠深入。

三、如何引導(dǎo)學(xué)生采用矢量及微積分方法處理物理問題

高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)更為抽象，同樣的，大學(xué)物理較中學(xué)物理抽象，當(dāng)數(shù)學(xué)公式被用來解決物理問題的時候，數(shù)學(xué)公式不再是單純的公式那么簡單，而是被賦予了物理意義[2]。如何有效地將數(shù)學(xué)公式應(yīng)用到解決物理問題中，特別是使初學(xué)者具備這方面的能力是很重要的。教師在教學(xué)過程中需要對學(xué)生加以引導(dǎo)，使學(xué)生盡早適應(yīng)這種方法去學(xué)學(xué)物理。

在平時的課堂教學(xué)過程中教師要不斷去分析目前所研究的物理問題與高中物理的不同之處，自如地引入微積分思想，剛開始可以不用微積分去計算，但是要使學(xué)生習(xí)慣這樣一種思維方式，改變中學(xué)階段形成的思維定式，當(dāng)學(xué)生的思維方式發(fā)生改變后，再逐漸將微積分的計算加入到課堂訓(xùn)練中。往往經(jīng)過幾道例題的講解大多數(shù)學(xué)生自認(rèn)為可以采用矢量及微積分去處理問題了，此時筆者通常會請一個學(xué)生到講臺上給大家講解一道例題，采取邊做邊講的方式，而講臺下的同學(xué)則要集中精力去發(fā)現(xiàn)臺上同學(xué)出現(xiàn)的問題，力爭使這道例題講解完美，最后會利用幾分鐘的時間去歸納總結(jié)或者留出兩分鐘時間給大家自由討論，小組總結(jié)。采用這種方法既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，同時還使學(xué)生在練習(xí)的過程中及時發(fā)現(xiàn)問題并改正自身的錯誤。

n堂所列舉的事例一定要貼近生活，比如講剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算時，當(dāng)剛體的質(zhì)量為連續(xù)分布必須采用微積分的方法去計算其轉(zhuǎn)動慣量。課本上的例子是均質(zhì)細(xì)桿，可以換成均質(zhì)掛面，球面的例子可以舉籃球，球體的可以說鉛球，一個個活生生的例子擺在學(xué)生面前，學(xué)生才會去思考怎么去分割，怎么去求和，無形之中強(qiáng)化了微積分的思想。

四、結(jié)束語

微積分在大學(xué)物理研究問題上的思想方法是將復(fù)雜的物理學(xué)問題，無論是在時間上也好空間上也好首先進(jìn)行無限地分割，分割成無限小量，即微分；然后將各個無限小量進(jìn)行求和疊加，即積分。學(xué)生只有經(jīng)過反復(fù)地訓(xùn)練掌握了矢量和微積分的思想和精髓才能將其自如地應(yīng)用到大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過程中，這種素質(zhì)需要經(jīng)過長時間的強(qiáng)化練習(xí)。而這種素質(zhì)的形成會使學(xué)生樹立學(xué)好大學(xué)物理的信心，提高他們應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，為今后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]熊青玲.大學(xué)物理中關(guān)于矢量的應(yīng)用問題探討[J].希望月報，2008，（3）：14-15.

The Role of Vector and Calculus in College Physics Teaching

ZHANG Hong-mei，KONG De-guo*

（College of Mechanical and Electrical Engineering，Tarim University，Alaer，Xinjiang 843300，China）

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一、關(guān)于物理的學(xué)習(xí)方法

所謂物理學(xué)習(xí)方法，簡單的說就是研究或?qū)W習(xí)和應(yīng)用物理的方法。方法是研究問題的門路和程序，是方式和辦法的綜合。首先，學(xué)好物理要識記、理解物理概念、規(guī)律及條件，要解決描述物理問題，就要會對物理問題進(jìn)行唯象的研究，然后進(jìn)一步研究它的原因、規(guī)律，再尋求解決的方法。在中學(xué)物理課中我們只要注意到參考系、速度、質(zhì)量、力、動量、能量、功等概念和牛頓運(yùn)動定律、萬有引力定律、動量守恒定律、動能定理、動量定理、動量守恒定律、機(jī)械能守恒定律等規(guī)律，以及時空觀、物理模型、數(shù)學(xué)工具（矢量、圖象、變化率）等在熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、原子物理學(xué)中的應(yīng)用和分析、解決的方法，就會對此有所體會。研究物理的規(guī)律，也要從歷史上看，學(xué)會從描述物理過程開始，判斷什么物理問題說明用什么物理概念、物理量去描述物體的狀態(tài)，用什么方程可以描繪物體的運(yùn)動狀況，變化關(guān)系，從而可以解決控制物理的問題。如：質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度及其時間是描述運(yùn)動學(xué)的物理量，勻變速直線運(yùn)動公式，拋體運(yùn)動公式，勻速圓周運(yùn)動公式等,都是我們在研究運(yùn)動學(xué)動力學(xué)問題時常常要用到的。從動力學(xué)角度看運(yùn)動學(xué)概念、規(guī)律能加深理解，能知道它的本質(zhì)。如：加速度是力產(chǎn)生的，它建立了運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的聯(lián)系；拋體運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下的加速度恒定的曲線運(yùn)動；簡諧運(yùn)動是質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下的運(yùn)動等。又如：從動力學(xué)角度能判定運(yùn)動獨(dú)立性原理不存在，分運(yùn)動的獨(dú)立性是有條件的。可見，明確題設(shè)的物理情境，理解物理過程是解決物理問題的關(guān)鍵。教學(xué)過程必須始終貫穿物理思想和物理方法，這是授之漁和受之漁的根本。方法是溝通思想、知識和能力的橋梁，物理方法是物理思想的具體表現(xiàn)。研究物理的方法很多，如有觀察法、實(shí)驗(yàn)法、假設(shè)法、極限法、類比法、比較法、分析法、綜合法、變量控制法、圖表法、歸納法、總結(jié)法、發(fā)散思維法、抽象思維法、逆向思維法、模擬想象法、知識遷移法、數(shù)學(xué)演變法等。對于上述各方法的靈活運(yùn)用需要學(xué)生們在解題過程中加以揣摩和總結(jié)。

二、減輕學(xué)生精神負(fù)擔(dān)，變革考試制度

學(xué)校的考試制度不改變，學(xué)生精神上的壓力就不會減少，學(xué)生在生理上和心理上就不會得到應(yīng)有的放松，能力就不會得到較好的發(fā)揮。傳統(tǒng)的考試制度、形式、內(nèi)容及評估方式，對學(xué)生精神壓力太大，以分定位，一榜定論，像一具精神枷鎖枷走了年青人的朝氣，鎖住了孩子們的興趣。重知輕能使同學(xué)們鉆入了“高分低能”的怪圈，個性得不到發(fā)展，特長難以發(fā)揮，總是圍繞高考指揮棒游來轉(zhuǎn)去：凡是考試內(nèi)容，深挖細(xì)究，猜題押寶，填鴨硬灌，反之一略而過，甚至置之不理，純屬應(yīng)試教育。

為了改變這種被動局面，我們摸索了一套行之有效的考試方式和新評估模式。

實(shí)行“兩種考試并行，三種活動輔助”的新方案。開卷考試（占40％）與閉卷考試（占60％）并行，概念的形成，規(guī)律的推導(dǎo)，物理學(xué)史實(shí)，實(shí)驗(yàn)操作，實(shí)踐應(yīng)用等方面進(jìn)行面試和開卷考試，可以查閱資料，可以相互研討，但最后師生必須共同講評，這樣面向全體學(xué)生，人人積極主動探究，個個動腦思維進(jìn)取，為進(jìn)一步掌握高層次科學(xué)技術(shù)知識打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。而對于開發(fā)智力，培養(yǎng)能力，提高思維素質(zhì)的題目進(jìn)行筆試，試題設(shè)計要有層次，有梯度，有大有小，新穎脫俗，波浪起伏，不拘一格，有效度，有信度，有難度，有區(qū)分度，讓每個同學(xué)在自己的起跑線上再大跨一步。更重要的是不論哪種考試，取消百分制，實(shí)行等級制，淡化分?jǐn)?shù)，使每個同學(xué)心悅誠服，歡暢樂學(xué)。

三種活動指的一是章一活動，一編一競賽，一年一答辯，以此作為檢驗(yàn)同學(xué)們智能的主要途徑，通過這些活動，一可增強(qiáng)師生競爭意識，二可充分展現(xiàn)自我，三可加重智能檢測比例，四可突出物理知識在實(shí)踐中的意義。例如高三學(xué)年總復(fù)習(xí)前，我們擬定了“高中物理學(xué)基本思路與方法探討”的答辯論文題目，同學(xué)們積極準(zhǔn)備，踴躍答辯，取得了良好的效益。一位同學(xué)從“合成與分解”，“整體與隔離”，“宏觀與微觀”，“力與運(yùn)動”，“圖象”，“能量轉(zhuǎn)化與守恒”等七個方面基本完整總結(jié)了高中物理所涉及的思路與方法，為全面復(fù)習(xí)工作奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。

三、創(chuàng)新課堂教學(xué)，提高學(xué)習(xí)效益，減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)

課堂教學(xué)是學(xué)生接受知識的主戰(zhàn)場，要打破“堂上盡由著老師灌”的僵局，實(shí)行“四主”“三同步”教改新路。四主是學(xué)為主體，教為主導(dǎo)，思為主攻，練為主線，把學(xué)生完全推向教學(xué)，讓他們在學(xué)習(xí)中參與，參與中學(xué)習(xí)。思、看、讀、做、聽、議、寫、評，在教師指導(dǎo)下，交錯進(jìn)行，步步深入。三同步指的是知識、方法、能力一起抓，同步走。教師的備課、講課、輔導(dǎo)，學(xué)生的領(lǐng)會、理解、記憶，都要把知識的核實(shí)，智力的開發(fā)，能力的提高當(dāng)做基礎(chǔ)工程去抓。像遇到習(xí)題教學(xué)時，首先做好習(xí)題的分類歸檔工作，海水舀不盡，習(xí)題做不完，但類型畢竟有限，所以狠抓典型，翻透弄清，舉一反三，觸類旁通，真正做到攻克一點(diǎn)，解決一片。在課堂上爭取把知識落到實(shí)處，多給學(xué)生方法，多指點(diǎn)學(xué)法，從能力上、素質(zhì)上、根本上解決問題，提高效益，從而減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)。

高中物理教學(xué)中的基本訓(xùn)練包括兩個方面：⑴運(yùn)用已掌握的物理概念和規(guī)律來分析解決實(shí)際問題；⑵物理實(shí)驗(yàn)技能的訓(xùn)練。通過基本訓(xùn)練可以深化、活化學(xué)生已掌握的物理知識，它是提高學(xué)生思維能力的重要手段，成敗的關(guān)鍵在于精選好例題和練習(xí)題。精選的例題和練習(xí)題，應(yīng)該有代表性，能收到舉一反三的效果：有針對性，能針對知識的重點(diǎn)、關(guān)鍵和學(xué)生的水平；有啟發(fā)性，能激發(fā)學(xué)生思維。對學(xué)生分清正確與錯誤并靈活運(yùn)用知識有較大補(bǔ)益。

下面談?wù)劺}教學(xué)與定時練習(xí)兩個問題。

例題教學(xué)，側(cè)重在開拓思路，放手讓學(xué)生搞一題多解、一題多思，在“解”、“思”中“自悟”，以期形成深刻的記憶和能力。教師在例題課上的講解，是在學(xué)生“悟”不出的時候，側(cè)重在物理模型的分析上花功夫，教給學(xué)生如何針對所研究的問題，應(yīng)用物理模型、構(gòu)造物理模型的方法，例如在復(fù)習(xí)動量守恒與機(jī)械能守恒時，通過小球在圓弧槽中滑下，不計摩擦的例題分析，構(gòu)造了這類問題的物理模型：⑴不計摩擦，水平方向又無其它外力，系統(tǒng)動量守恒；⑵小球和圓弧槽系統(tǒng)，只有重力做功，無機(jī)械能與其它形式能量轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒。由于重視物理模型的分析，學(xué)生很自然的把上面所講物理模型與平拋運(yùn)動的物理模型結(jié)合起來，順利的對此類題型作了正確的解答。

單元例題教學(xué)以后，安排二課時的定時練習(xí)，題目是精選了的，題型較活，有淺有深。要求學(xué)生按時完卷，教師及時進(jìn)行批改評分，根據(jù)反饋信息，上好評講課。對難度大的題一般不在課堂評講，原因是評講這類題花時較多，針對性不強(qiáng)，可做好答案，讓有能力的學(xué)生自己去鉆研，評講的重點(diǎn)是那些錯誤較多，難度不太大的典型題目。評講側(cè)重分析物理模型，因?yàn)檫@是正確解題的關(guān)鍵。模型錯了，結(jié)果肯定不對。對于多數(shù)學(xué)生已掌握，少數(shù)學(xué)困生未掌握的題目，則只進(jìn)行個別輔導(dǎo)，根據(jù)題目的重要程度與考試情況，把答案分別做成“詳解”、“略解”和“一題多解”，為學(xué)生提供正確的依據(jù)，讓他們自己去對照、思考。

在此基礎(chǔ)上，以練帶講，幫助學(xué)生縱觀整個知識體系，在頭腦中形成三條清晰的主要線索，重點(diǎn)做好以下幾件事：⑴力的線索；⑵能的線索；⑶動量的線索；結(jié)合知識跨度大的綜合性例題進(jìn)行分析，以提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力。

篇8

■ 一、 曲線運(yùn)動

1. 用極限思想研究曲線運(yùn)動速度方向的方法

若一質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過一段時間由A點(diǎn)沿曲線運(yùn)動至B點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)在這段時間內(nèi)的平均速度與位移AB的方向相同，即沿著該曲線的割線AB方向. 所取的時間間隔越短，B點(diǎn)就越靠近A點(diǎn). 當(dāng)所取的時間間隔趨近于0時，B點(diǎn)就趨近于A點(diǎn)，平均速度也就趨近于A點(diǎn)的瞬時速度，而割線AB也就趨近于曲線過A點(diǎn)的切線. 因此，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的瞬時速度方向沿曲線過A點(diǎn)的切線方向.

2. 平拋運(yùn)動的正交分解方法

物體以一定初速度水平拋出后，物體只受到重力的作用，在豎直方向的初速度為零，所以平拋運(yùn)動的豎直分運(yùn)動就是自由落體運(yùn)動. 而水平方向上物體不受任何外力作用，所以水平方向的分運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動. 通常可將平拋運(yùn)動沿水平方向與豎直方向分解. 當(dāng)然，在一些特定場合，也可將平拋運(yùn)動沿傾斜方向進(jìn)行正交分解.

3. 向心力的分析方法

首先對做圓周運(yùn)動的物體進(jìn)行受力分析，作出物體的受力分析圖；然后將各力沿半徑方向和垂直于半徑方向分解，則各力沿半徑方向分力的代數(shù)和（指向圓心的分力為正，背離圓心的分力為負(fù)），即為物體做圓周運(yùn)動的向心力.

4. 圓周運(yùn)動動力學(xué)問題的研究方法

① 明確研究對象，并對其進(jìn)行受力分析；

② 明確圓周運(yùn)動的軌跡、半徑及圓心位置；

③ 求出物體受到的合力或向心力；

④ 運(yùn)用牛頓第二定律及圓周運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式列出方程；

⑤ 求解并進(jìn)行必要的討論.

5. 一般曲線運(yùn)動的研究方法

運(yùn)動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運(yùn)動，稱為一般曲線運(yùn)動. 研究一般曲線運(yùn)動時，可將曲線分割成許多極短的小段，每一小段曲線都可看作一小段圓弧. 當(dāng)然，這些圓弧的彎曲程度通常是不一樣的. 這樣，就可用研究圓周運(yùn)動的方法來研究一般曲線運(yùn)動.

■ 二、 萬有引力與航天

1. 牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的研究方法

① 觀察獲得規(guī)律：行星運(yùn)動的開普勒定律. 問題：行星運(yùn)動為什么會有這樣的規(guī)律？

② 猜想原因：太陽對行星的引力作用. 問題：太陽對行星的引力與什么因素有關(guān)？

③ 數(shù)學(xué)演繹得到規(guī)律：根據(jù)已知規(guī)律（開普勒行星運(yùn)動定律和牛頓運(yùn)動定律）推出太陽與行星間的引力遵從的規(guī)律F∝■.

④ 進(jìn)一步猜想：地球使地面上物體下落的力，與太陽使行星運(yùn)動的力、地球使月球運(yùn)動的力是否出于同一原因？

⑤ 猜想得到檢驗(yàn)：月―地檢驗(yàn)使猜想得到證實(shí).

⑥ 更大膽地猜想：自然界任何兩個物體之間是否也有這樣的吸引力？

⑦ 得到萬有引力定律：F=G■.

2. 解決天體運(yùn)動問題的兩種方法

① 根據(jù)萬有引力提供向心力，運(yùn)用G■=m■進(jìn)行分析；

② 根據(jù)重力等于萬有引力，運(yùn)用mg=G■進(jìn)行分析.

式中g(shù)為天體表面的重力加速度，r為軌道半徑，R為天體半徑.

3. 人造地球衛(wèi)星的計算方法 有關(guān)人造地球衛(wèi)星的計算，要牢牢把握人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心力來源于地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力，可根據(jù)已知條件，選用下列規(guī)律：

mg′=G■=m■=mω2r=m■2r=m（2πn）2r.

式中M、m分別表示地球和衛(wèi)星的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星的軌道半徑，g′表示衛(wèi)星軌道處的重力加速度，T、ω、n分別表示衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期、角速度和轉(zhuǎn)速. 對于近地衛(wèi)星，式中的g′即為地球表面的重力加速度g，r即為地球半徑R. 對于同步衛(wèi)星，式中的T、ω、n即分別為地球自轉(zhuǎn)的周期、角速度和轉(zhuǎn)速.

■ 三、 機(jī)械能及其守恒定律

1. 功的計算方法

計算恒力的功可直接應(yīng)用功的公式W=Fxcosα. 計算變力的功常見的有以下幾種方法：

① 轉(zhuǎn)換研究對象求解 通過轉(zhuǎn)換研究對象的方法，將變力所做的功轉(zhuǎn)化為恒力做功問題處理.

② 運(yùn)用累積思想求解 把物體通過各個小段中力所做的功累加在一起，就等于變力在整個過程中所做的功.

③ 應(yīng)用動能定理求解.

2. 應(yīng)用動能定理解題的方法

應(yīng)用動能定理解題的一般步驟是：

① 選取研究對象，確定研究過程；

② 分析物體受力，明確做功情況；

③ 根據(jù)初、末狀態(tài)，確定初、末動能；

④ 應(yīng)用動能定理，列出方程求解.

應(yīng)用動能定理解題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

① 正確分析物體受力，要考慮物體所受的所有外力，包括重力.

② 有些力在物體運(yùn)動全過程中不是始終存在的，若物體運(yùn)動過程中包含幾個物理過程，物體運(yùn)動狀態(tài)、受力等情況均發(fā)生變化，則在考慮外力做功時，必須根據(jù)不同情況分別對待.

③ 若物體運(yùn)動過程中包含幾個不同的物理過程，解題時可以分段考慮也可視全過程為一整體，用動能定理求解，后者往往更為簡捷.

3. 判斷機(jī)械能是否守恒的方法

① 做功條件分析法 應(yīng)用系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件進(jìn)行分析. 若物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力做功，其他力均不做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

② 能量轉(zhuǎn)化分析法 從能量轉(zhuǎn)化的角度進(jìn)行分析. 若只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒有轉(zhuǎn)變成其他形式的能（如沒有內(nèi)能增加），則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

③ 增減情況分析法 直接從機(jī)械能各種形式能量的增減情況進(jìn)行分析. 若系統(tǒng)的動能與勢能均增加或均減少，則系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；若系統(tǒng)的動能（或勢能）不變，而勢能（或動能）卻發(fā)生了變化，則系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；若系統(tǒng)內(nèi)各個物體的機(jī)械能均增加或均減少，則系統(tǒng)的機(jī)械能也不守恒. 當(dāng)然，這種方法只能判斷系統(tǒng)的機(jī)械能明顯不守恒的情況，對于另一些情況（如系統(tǒng)的動能增加而勢能減少）則無法做出定性的判斷.

4. 應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的方法

應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的一般步驟是：

① 選取系統(tǒng)對象，確定研究過程；

② 進(jìn)行受力分析，考察守恒條件；

③ 選取零勢能平面，確定初、末態(tài)機(jī)械能；

④ 運(yùn)用守恒定律，列出方程求解.

根據(jù)機(jī)械能守恒定律，求解具體問題時可從以下不同的角度列出方程：

① 從守恒的角度 系統(tǒng)的初、末兩狀態(tài)機(jī)械能守恒，即E2=E1；

② 從轉(zhuǎn)化的角度 系統(tǒng)動能的增加等于勢能的減少，即?駐Ek=-?駐Ep；

③ 從轉(zhuǎn)移的角度 系統(tǒng)中一部分物體機(jī)械能的增加等于另一部分物體機(jī)械能的減少，即?駐EA=-?駐EB.

5. 運(yùn)用功能關(guān)系求解相關(guān)物理量的方法

能量轉(zhuǎn)化是與做功緊密地聯(lián)系在一起的. 力做功時，必然伴隨著能量的轉(zhuǎn)化，而且功與能量轉(zhuǎn)化的量值是相等的. 這一等量關(guān)系不僅提供了計算功的大小的另一種途徑，而且涉及功與能的其他物理量也可能在這一等量關(guān)系中求出. 在力學(xué)中，常涉及以下幾種力的功引起的相應(yīng)的能量變化的等量關(guān)系：

① 合外力所做的功等于物體或物體系動能的變化――動能定理；

② 除了重力和彈力外，其他力對物體系所做的功等于物體系機(jī)械能的變化――功能原理；

篇9

關(guān)鍵詞：物理定律；教學(xué)方法；多種多樣

關(guān)鍵詞：是對物理規(guī)律的一種表達(dá)形式。通過大量的觀察、實(shí)驗(yàn)歸納而成的結(jié)論。反映物理現(xiàn)象在一定條件下發(fā)生變化過程的必然關(guān)系。物理定律的教學(xué)應(yīng)注意：首先要明確、掌握有關(guān)物理概念，再通過實(shí)驗(yàn)歸納出結(jié)論，或在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理（如牛頓第一定律）。有些物理量的定義式與定律的表式相同，就必須加以區(qū)別（如電阻的定義式與歐姆定律的表式可具有同一形式R＝U/I），且要弄清相關(guān)的物理定律之間的關(guān)系，還要明確定律的適用條件和范圍。

（1）牛頓第一定律采用邊講、邊討論、邊實(shí)驗(yàn)的教法，回顧“運(yùn)動和力”的歷史。消除學(xué)生對力的作用效果的錯誤認(rèn)識；培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究的一種方法——理想實(shí)驗(yàn)加外推法。教學(xué)時應(yīng)明確：牛頓第一定律所描述的是一種理想化的狀態(tài)，不能簡單地按字面意義用實(shí)驗(yàn)直接加以驗(yàn)證。但大量客觀事實(shí)證實(shí)了它的正確性。第一定律確定了力的涵義，引入了慣性的概念，是研究整個力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，不能把它當(dāng)作第二定律的特例；慣性質(zhì)量不是狀態(tài)量，也不是過程量，更不是一種力。慣性是物體的屬性，不因物體的運(yùn)動狀態(tài)和運(yùn)動過程而改變。在應(yīng)用牛頓第一定律解決實(shí)際問題時，應(yīng)使學(xué)生理解和使用常用的措詞：“物體因慣性要保持原來的運(yùn)動狀態(tài)，所以……”。教師還應(yīng)該明確，牛頓第一定律相對于慣性系才成立。地球不是精確的慣性系，但當(dāng)我們在一段較短的時間內(nèi)研究力學(xué)問題時，常常可以把地球看成近似程度相當(dāng)好的慣性系。

（2）牛頓第二定律在第一定律的基礎(chǔ)上，從物體在外力作用下，它的加速度跟外力與本身的質(zhì)量存在什么關(guān)系引入課題。然后用控制變量的實(shí)驗(yàn)方法歸納出物體在單個力作用下的牛頓第二定律。再用推理分析法把結(jié)論推廣為一般的表達(dá)：物體的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。教學(xué)時還應(yīng)請注意：公式F＝Kma中，比例系數(shù)K不是在任何情況下都等于1；a隨F改變存在著瞬時關(guān)系；牛頓第二定律與第一定律、第三定律的關(guān)系，以及與運(yùn)動學(xué)、動量、功和能等知識的聯(lián)系。教師應(yīng)明確牛頓定律的適用范圍。

（3）萬有引力定律教學(xué)時應(yīng)注意：①要充分利用牛頓總結(jié)萬有引力定律的過程，卡文迪許測定萬有引力恒量的實(shí)驗(yàn)，海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)等物理學(xué)史料，對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)方法的教育。②要強(qiáng)調(diào)萬有引力跟質(zhì)點(diǎn)間的距離的平方成反比（平方反比定律），減少學(xué)生在解題中漏平方的錯誤。③明確是萬有引力基本的、簡單的表式，只適用于計算質(zhì)點(diǎn)的萬有引力。萬有引力定律是自然界最普遍的定律之一。但在天文研究上，也發(fā)現(xiàn)了它的局限性。

（4）機(jī)械能守恒定律這個定律一般不用實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)誤差太大。實(shí)驗(yàn)可作為驗(yàn)證。一般是根據(jù)功能原理，在外力和非保守內(nèi)力都不作功或所作的總功為零的條件下推導(dǎo)出來。高中教材是用實(shí)例總結(jié)出來再加以推廣。若不同形式的機(jī)械能之間不發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，就沒有守恒問題。機(jī)械能守恒定律表式中各項(xiàng)都是狀態(tài)量，用它來解決問題時，就可以不涉及狀態(tài)變化的復(fù)雜過程（過程量被消去），使問題大大地簡化。要特別注意定律的適用條件（只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力和彈力做功）。這個定律不適用的問題，可以利用動能定理或功能原理解決。

（5）動量守恒定律歷史上，牛頓第二定律是以F＝dP/dt的形式提出來的。所以有人認(rèn)為動量守恒定律不能從牛頓運(yùn)動定律推導(dǎo)出來，主張從實(shí)驗(yàn)直接總結(jié)。但是實(shí)驗(yàn)要用到氣墊導(dǎo)軌和閃光照相，就目前中學(xué)的實(shí)驗(yàn)條件來說，多數(shù)難以做到。即使做得到，要在課堂里準(zhǔn)確完成實(shí)驗(yàn)并總結(jié)出規(guī)律也非易事。故一般教材還是從牛頓運(yùn)動定律導(dǎo)出，再安排一節(jié)“動量和牛頓運(yùn)動定律”。這樣既符合教學(xué)規(guī)律，也不違反科學(xué)規(guī)律。中學(xué)階段有關(guān)動量的問題，相互作用的物體的所有動量都在一條直線上，所以可以用代數(shù)式替代矢量式。學(xué)生在解題時最容易發(fā)生符號的錯誤，應(yīng)該使他們明確，在同一個式子中必須規(guī)定統(tǒng)一的正方向。動量守恒定律反映的是物體相互作用過程的狀態(tài)變化，表式中各項(xiàng)是過程始、末的動量。用它來解決問題可以不過程物理量，使問題大大地簡化。若物體不發(fā)生相互作用，就沒有守恒問題。在解決實(shí)際問題時，如果質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部的相互作用力遠(yuǎn)比它們所受的外力大，就可略去外力的作用而用動量守恒定律來處理。動量守恒定律是自然界最重要、最普遍的規(guī)律之一。無論是宏觀系統(tǒng)或微觀粒子的相互作用，系統(tǒng)中有多少物體在相互作用，相互作用的形式如何，只要系統(tǒng)不受外力的作用（或某一方向上不受外力的作用），動量守恒定律都是適用的。

篇10

摘要：

研究了考慮變質(zhì)量效應(yīng)的柔性兩級火箭的動力學(xué)建模問題．首先采用Kane方法和模態(tài)截斷法建立了變質(zhì)量柔性體的動力學(xué)方程，然后將火箭簡化為帶噴嘴的梁模型，將變質(zhì)量柔性體的動力學(xué)方程應(yīng)用到火箭動力學(xué)建模過程中，分別推導(dǎo)了針對噴嘴和梁的動力學(xué)方程，進(jìn)而組集得到整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程．在建模過程中，考慮了外部氣動力以及兩級火箭級間分離時間間隔的影響．文章最后通過數(shù)值仿真揭示了火箭柔性效應(yīng)對系統(tǒng)特性的影響，以及單級火箭和兩級火箭在動力學(xué)特性上的差異．

關(guān)鍵詞：

兩級火箭；變質(zhì)量；柔性；建模；動力特性

隨著航天技術(shù)的飛速發(fā)展，針對變質(zhì)量系統(tǒng)的研究在航天領(lǐng)域具有重要意義，火箭就是一個典型的代表．由于燃料質(zhì)量所占火箭總質(zhì)量比例極大，飛行過程中燃料不斷消耗導(dǎo)致火箭質(zhì)量隨時間不斷變化；與此同時，隨著航天發(fā)射任務(wù)越來越高，火箭尺寸也在不斷增加，隨之帶來了火箭剛度下降、柔性效應(yīng)增加的問題[1]．因此，為了更加精確地分析火箭飛行過程中的相關(guān)參數(shù)變化，在火箭設(shè)計工作中建立一個同時考慮火箭變質(zhì)量效應(yīng)、柔性效應(yīng)的動力學(xué)方程顯得極具意義．

截至目前，國內(nèi)外眾多學(xué)者對火箭變質(zhì)量問題進(jìn)行了較為廣泛的研究．例如，Meirovitch[2]建立了具有內(nèi)部氣體噴射流動的時變質(zhì)量參數(shù)柔性火箭結(jié)構(gòu)的動力學(xué)控制方程，對時變質(zhì)量軸對稱火箭結(jié)構(gòu)橫向振動的時變系數(shù)微分方程進(jìn)行了解析求解．刑譽(yù)峰等[3]提出了變質(zhì)量系統(tǒng)振動分析的兩種方法，根據(jù)虛位移原理與動量守恒定理，分析了質(zhì)量變化對系統(tǒng)動特性的影響，推導(dǎo)了一般變質(zhì)量動力學(xué)系統(tǒng)的變系數(shù)控制微分方程，給出了適用于變質(zhì)量系統(tǒng)的改進(jìn)歐拉中點(diǎn)辛差分格式和模態(tài)疊加方法．Huang和Zeiler[4]從Lagrange方程出發(fā)得到了自由飛行柔性火箭的動力學(xué)方程，考慮了推力對剛度的作用、質(zhì)心變化和質(zhì)量減少引起的結(jié)構(gòu)固有振動特性的變化．繆協(xié)興等[5]分析了變質(zhì)量火箭燃料噴射帶來的質(zhì)量和邊界的變化，將燃料運(yùn)載火箭視為時變邊界的撓性體，火箭的質(zhì)量變化等效成為作用在時變邊界上的表而力，對時變邊界撓性體的動力學(xué)行為進(jìn)行研究，建立了撓性體的動力學(xué)方程．

本文以柔性火箭為對象，對考慮變質(zhì)量效應(yīng)的動力學(xué)建模問題進(jìn)行研究，并且在建模中分別考慮了氣動力、變質(zhì)量效應(yīng)、柔性效應(yīng)、級間分離間隔的影響．最后通過數(shù)值仿真給出火箭柔性對變質(zhì)量火箭系統(tǒng)特性的影響，以及單級火箭和兩級火箭動力學(xué)特性的差異．

1變質(zhì)量柔性體動力學(xué)方程

1.1變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系Kane動力學(xué)方程假定一個系統(tǒng)由N個質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，各個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量變化率相同．質(zhì)點(diǎn)系獨(dú)立的廣義坐標(biāo)數(shù)量為f個。

1.2變質(zhì)量柔性體動力學(xué)方程構(gòu)建變質(zhì)量柔性體模型時，變質(zhì)量效應(yīng)由質(zhì)點(diǎn)系Kane方程描述，柔性效應(yīng)由模態(tài)截斷法描述．如圖1，取柔性體上變形單元進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析．

2柔性火箭動力學(xué)模型

本文將火箭簡化為噴嘴-梁模型，其中梁為變質(zhì)量柔性體，噴嘴為不變質(zhì)量剛體，噴嘴與梁之間為鉸接關(guān)系．這種模型保留了火箭主要的動力學(xué)特性，同時可以簡化計算過程．

3數(shù)值仿真

本文以單級火箭和兩級火箭為例，對考慮變質(zhì)量效應(yīng)的柔性火箭動力學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值仿真研究，并且比較了兩者的差異，另外通過數(shù)值仿真給出柔性效應(yīng)對于火箭系統(tǒng)特性的影響．仿真算例中，單級火箭與兩級火箭相關(guān)參數(shù)如表1所示.圖3對比了單級火箭在剛體和柔體的數(shù)值仿真結(jié)果．圖3(a)描述水平位移隨時間變化關(guān)系，由圖知，剛體和柔體水平位移幾乎一致，可見柔性效應(yīng)對于單級火箭水平位移影響較小；圖3(b)為豎直位移隨時間變化關(guān)系，豎直位移差距隨時間推移呈現(xiàn)擴(kuò)大趨勢，可見柔性變形效應(yīng)對單級火箭豎直位移有較大影響；圖3(c)為俯仰角隨時間變化關(guān)系，數(shù)據(jù)顯示柔性火箭相比剛體火箭俯仰角更大．綜上所述，柔性效應(yīng)對于火箭飛行具有不可忽略的影響．圖4對比了單級火箭和兩級火箭的數(shù)值仿真結(jié)果．兩級火箭由于存在級間分離，其與單級火箭相比飛行過程存在較大差異．圖4(a)、(b)為水平位移和豎直位移隨時間變化關(guān)系；圖4(c)、(d)為水平方向速度和豎直方向速度隨時間變化關(guān)系．由圖，兩級火箭受級間分離影響，其水平速度在級間分離處發(fā)生明顯變化，雖然分離之后繼續(xù)增大，但增速明顯放緩；兩級火箭豎直速度級間分離之后逐漸減小．

4結(jié)論