數學建模的算法與應用范文

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【關鍵詞】數學建模；水文預報；水資源規劃

中圖分類號：TV12 文獻標識碼：A 文章編號：1006-0278（2013）07-202-01

近半個多世紀以來，隨著計算機技術的迅速發展，數學的應用不僅在工程技術、自然科學等領域發揮著越來越重要的作用，而且以空前的廣度和深度向經濟、金融、生物、醫學、環境、地質、人口、交通等新的領域滲透，所謂數學技術已經成為當代高新技術的重要組成部分。不論是用數學方法在科技和生產領域解決哪類實際問題，還是與其它學科相結合形成交叉學科，首要的和關鍵的一步是建立研究對象的數學模型，并加以計算求解。人們常常把數學建模和計算機技術在知識經濟時代的作用比喻為如虎添翼。

數學建模在水文與水資源工程專業中更是發揮著重要的作用，尤其是在水文預報和水資源規劃方面。

一、數學建模的介紹

（一）數學建模概述

數學建模是在20世紀60和70年代進入一些西方國家大學的，我國清華大學、北京理工大學等在80年代初將數學建模引入課堂。經過20多年的發展現在絕大多數本科院校和許多?？茖W校都開設了各種形式的數學建模課程和講座，為培養學生利用數學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。

（二）數學建模的應用

數學建模應用就是將數學建模的方法從目前純競賽和純科研的領域引向商業化領域，解決社會生產中的實際問題，接受市場的考驗?？梢陨孀闫髽I管理、市場分類、經濟計量學、金融證券、數據挖掘與分析預測、物流管理、供應鏈、信息系統、交通運輸、軟件制作、數學建模培訓等領域，提供數學建模及數學模型解決方案及咨詢服務，是對咨詢服務業和數學建模融合的一種全新的嘗試。

（三）數學建模十大算法

1.蒙特卡羅算法，該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性。2.數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法，通常使用Matlab作為工具。3.線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題，通常使用Lindo、Lingo軟件實現。4.圖論算法，這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。5.動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法。6.最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現比較困難，需慎重使用）7.網格算法和窮舉法，網格算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。8.一些連續離散化方法，很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要。9.數值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用）。10.圖象處理算法。

二、數學建模在水文與水資源中的應用

（一）數學建模在水資源規劃中的應用

全國水資源綜合規劃的目的是為我國水資源可持續利用和管理提供規劃基礎，要在進一步查清我國水資源及其開發利用現狀、分析和評價水資源承載能力的基礎上，根據經濟社會可持續發展和生態環境保護對水資源的要求，提出水資源合理開發、優化配置、高效利用、有效保護和綜合治理的總體布局及實施方案，促進我國人口、資源、環境和經濟的協調發展，以水資源的可持續利用支持經濟社會的可持續發展。

（二）數學模型在水文預報中的應用

水文預報是水文學為經濟和社會服務的重要方面，特別是對災害性水文現象做出預報，對綜合利用大型水利樞紐做出短期、中期和長期的預報，作用很大。中國已開展預報服務的項目有：洪水水位與流量、枯水水位與流量、含沙量、各種冰情、水質等。

水文預報的方法，在產流方面常用降雨徑流相關圖，在匯流方面常用單位線?，F在的發展方向是應用流域水文模型，根據流域上實測的降雨或降雪資料預報流域出口的流量過程。

在實際應用中，通過建立模型并求解，做出短期或中長期的預報，對防洪、抗旱、水資源合理利用和國防事業中有重要意義。

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一、 寫好數模答卷的重要性

1.評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級別， 數模答卷，是唯一依據。

2. 答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。

3. 寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。

二、 答卷的基本內容，需要重視的問題

1 評閱原則：假設的合理性， 建模的創造性，結果的合理性，表述的清晰程度。三、 2 答卷的文章結構

0． 摘要

1． 問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，略

2． 模型的假設，符號說明（表）

3． 模型的建立（問題分析，公式推導，

基本模型，最終或簡化模型 等）

四、 4． 模型的求解

計算方法設計或選擇；

算法設計或選擇， 算法思想依據，步驟及實現，計算框圖；

所采用的軟件名稱；

引用或建立必要的數學命題和定理；

求解方案及流程

5． 結果表示、分析與檢驗，誤差分析，模型檢驗……

五、 6． 模型評價，特點，優缺點，改進方法，推廣…….

7． 參考文獻

8． 附錄

計算框圖

詳細圖表

……

3要重視的問題

0． 摘要。包括：

a. 模型的數學歸類（在數學上屬于什么類型）

b. 建模的思想（思路）

c . 算法思想（求解思路）

d. 建模特點（模型優點，建模思想或方法，

算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，

模型檢驗…….）

e. 主要結果（數值結果，結論）（回答題目所問的全部“問題”） 表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮；

打印最好，但要求符合文章格式。務必認真校對。

1． 問題重述。略

2． 模型假設

跟據全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。

（1）根據題目中條件作出假設

（2）根據題目中要求作出假設

關鍵性假設不能缺；假設要切合題意

3． 模型的建立

（1） 基本模型：

1) 首先要有數學模型：數學公式、方案等

2) 基本模型，要求 完整，正確，簡明

（2） 簡化模型

1） 要明確說明：簡化思想，依據

2） 簡化后模型，盡可能完整給出

（3） 模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。

數學建模面臨的、要解決的是實際問題，

不追求數學上：高（級）、深（刻）、難（度大）。

u 能用初等方法解決的、就不用高級方法，

u 能用簡單方法解決的，就不用復雜方法，

u 能用被更多人看懂、理解的方法，

就不用只能少數人看懂、理解的方法。

（4）鼓勵創新，但要切實，不要離題搞標新立異

數模創新可出現在

建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等，

模型求解中

結果表示、分析、檢驗，模型檢驗

推廣部分

（5）在問題分析推導過程中，需要注意的問題：

u 分析：中肯、確切

u 術語：專業、內行；；

u 原理、依據：正確、明確,

u 表述：簡明，關鍵步驟要列出

u 忌：外行話，專業術語不明確，表述混亂，冗長。

4． 模型求解

（1） 需要建立數學命題時：

命題敘述要符合數學命題的表述規范，

盡可能論證嚴密。

（2） 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。 若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱

（3） 計算過程，中間結果可要可不要的，不要列出。

（4） 設法算出合理的數值結果。

5． 結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示

（1） 最終數值結果的正確性或合理性是第一位的 ；

（2） 對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗。

結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因，

對算法、計算方法、或模型進行修正、改進；

（3） 題目中要求回答的問題，數值結果，結論，須一一列出；

（4） 列數據問題：考慮是否需要列出多組數據，或額外數據 對數據進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據；

（5） 結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析數值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式

求解方案，用圖示更好

（6） 必要時對問題解答，作定性或規律性的討論。

最后結論要明確。

6．模型評價

優點突出，缺點不回避。

改變原題要求，重新建模可在此做。

推廣或改進方向時，不要玩弄新數學術語。

7．參考文獻

8．附錄

詳細的結果，詳細的數據表格，可在此列出。

但不要錯，錯的寧可不列。

主要結果數據，應在正文中列出，不怕重復。

檢查答卷的主要三點，把三關：

n 模型的正確性、合理性、創新性

n 結果的正確性、合理性

n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、對分工執筆的同學的要求

四．關于寫答卷前的思考和工作規劃

答卷需要回答哪幾個問題――建模需要解決哪幾個問題問題以怎樣的方式回答――結果以怎樣的形式表示

每個問題要列出哪些關鍵數據――建模要計算哪些關鍵數據 每個量，列出一組還是多組數――要計算一組還是多組數……

五．答卷要求的原理

u 準確――科學性

u 條理――邏輯性

u 簡潔――數學美

u 創新――研究、應用目標之一，人才培養需要

u 實用――建模。實際問題要求。

建模理念：

1. 應用意識：要解決實際問題，結果、結論要符合實際； 模型、方法、結果要易于理解，便于實際應用；

站在應用者的立場上想問題，處理問題。

2. 數學建模：用數學方法解決問題，要有數學模型；

問題模型的數學抽象，方法有普適性、科學性，

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關鍵詞：數學建模；計算方法；教學實踐

中圖分類號：G420 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）02-0232-01

一、《計算方法》課程的性質及改革的必要性

隨著計算機的出現和迅速發展，在各種自然科學和工程、技術科學的發展中，“科學與工程計算”已經成為平行于理論分析和科學實驗的第三種科學手段。不管是在高科技領域還是在一些傳統的學科領域，數值計算都是一個不可少的環節?！队嬎惴椒ā氛且婚T介紹科學計算的基礎理論與基本方法的課程。與其他相關數學課程相比，該課程的理論和方法在其他專業課程中經常用到，而且也常常用來解決實際問題，它具有理論性、實用性和實踐性都很強的特點。

（一）內容豐富、公式繁多

計算方法（又稱數值分析）是數學的一個分支，它以數字計算機求解數學問題的方法與理論為研究對象，其內容包括：函數插值、函數積分與微分、線性方程組的解法、非線性方程組的解法、矩陣特征值與特征向量的解法，此外，還包括常微分與偏微分方程的數值解法等。它既有數學的高度概括性和嚴密的科學性，又具有實用性并具有高度的技巧性。公式繁多，不容易記憶。

（二）面向計算機

該課程重點研究數字計算機上使用的計算方法。注重實用性和計算效率，講究算法的技巧性，保證算法的可靠性，重視方法的理論研究。因為算法上的區別可能會對誤差的傳播和計算結果的精度產生重要的影響。要求所提供的計算方法具有收斂的性質，相應的算法能夠抑制舍入誤差的干擾。

基于數值計算方法的上述特點，在學習此課程時，首先要掌握構造方法的原理、思想，注意算法的技巧并要與計算機的實際密切結合，也要重視有關計算方法基礎知識和數學理論的學習。其次要重視實踐，通過算例和動手計算，學會怎樣使用數值方法在計算機上解決各類數學計算問題。

《計算方法》課程現已成為我國各類高等院校數學系和各類應用學科專業的一門必修課，但其教學并不盡如人意。很多學校都存在著學時少、內容多的問題，而數學專業的學生往往理論分析問題能力強，但理論聯系實際和解決實際問題能力差。因此，對《計算方法》的教學實施改革顯得尤為迫切。

二、數學建模思想對計算方法教學的影響

中科院院士李大潛教授告訴我們，數學作為一門重要的基礎學科和一種精確的科學語言，是以一種極為抽象的形式出現的。這種極為抽象的形式有時會掩蓋數學豐富的內涵，并可能對數學的實際應用形成障礙。要用數學方法解決一個實際問題，就必須設法在實際問題與數學之間架設一個橋梁。首先要將這個實際問題化為一個相應的數學問題，然后對這個問題進行分析和計算，最后將所求得的解答回歸實際，看能不能有效地回答原先的實際問題。這個全過程，特別是其中的第一步，就稱為數學建模，即為所考察的實際問題建立數學模型。

就《計算方法》課程而言，很多問題都是由現實問題而來的，這些問題的求解也必須要借助計算機才能進行，這就使得數學建模的思想較為方便地融入到《計算方法》課程當中。

三、教學中的實踐

（一）選用適當的教材

針對上述在教學中遇到的學時少、內容多，選用一本合適的教材至關重要。根據專業性質的不同，需要強調的內容也不盡相同。對于數學類專業，算法的收斂性及穩定性應該得到關注。對于非數學類專業，就可以適當淡化抽象的理論，把重點放在算法思想的建立和實施過程上，以培養學生的學習興趣，增強對方法的應用意識。

（二）采用“問題教學”的模式

為了提高學生的學習興趣及動手能力，采用“問題教學”的授課方式，并付之實踐?；舅悸肥牵翰捎脭祵W建模的思想和方法，從生產實踐所要解決的實際問題出發，運用所學知識，通過歸納、分析、提煉等手段建立其相應的數學模型，從而提出相應的數學問題；然后，從理論上研究、討論解決這個數學問題的基本思想、方法，分析該方法的優缺點及所能解決問題的類型，進而給出解決實際問題的數學思想、方法。這種教學模式不僅激發了學生學習數學，特別是計算數學的興趣和欲望，還將教師扎實的理論知識與豐富的實踐能力、解決實際問題的心得體會通過教師授課與學生實驗這兩個環節傳授給學生。

（三）優化實驗設計，提高動手能力

數學建模中不僅要求得到簡化的模型，也要求對簡化的模型有能夠進行求解的計算方法。大多數模型手算是困難的，必須借助于計算機的處理。，將動手編程和軟件運用相結合?！队嬎惴椒ā氛n程中的算法可以由不同的軟件進行實施，如Matlab、C 語言都是很好的，既能夠體現算法在計算機上的精確實現得到的近似解，也符合課程的規范。讓學生動手進行編程，可以提高使用計算機處理實際問題的興趣、提高軟件的運用能力及動手操作能力。但考慮到應該將計算結果用圖像顯示出來，以便于分析、檢驗和改進，且數學建模的很多問題是用Matlab 處理的，很多院校也使用Matlab 作為算法處理的軟件。

綜上，要用數學建模的思想引領計算方法課程的學習，應當采用循序漸進的方式，激發學生的學習計算方法課程的興趣，增強他們的動手意識，提高他們用所學知識解決實際問題的能力，這才是我們要達到的目標。

參考文獻：

[1] 李大潛.將數學建模思想融入到數學類主干課程[J].中國大學教學，2006，（1）：9-11.

[2] 陳輝，李文宇，張傳芳.數值計算方法[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.

[3] 關治，陳景良.數值計算方法[M].北京：清華大學出版社，2004.

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【關鍵詞】數值代數 教學改革 數學建模

【中圖分類號】O15 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）11-0155-02

一、引言

數值代數課程是信息與計算數學專業的主干課程之一，主要包含：線性代數方程組和非線性方程與方程組的數值解法、特征值與特征向量的數值計算等內容[1]。因此，它是一門研究并給出解決數值問題近似解的數學方法并與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程。

在數學建模中，最終模型的求解經常利用到數值代數中的方法，比如分解法、迭代法等。因此，在講解數值代數的時候將數學模型的思想引進來，讓數值代數成為有源之水，使得理論聯系實際，學生在學習中也會更加感興趣，所以如何進行教學改革，進一步提高數值代數課程的教學質量越來越引起重視，并成為當前教育改革的熱點之一。

二、《數值代數》實踐教學中主要存在的問題

數值代數課程涉獵內容多，涉及知識面廣，其基礎包含了數學分析、高等代數、微分方程以及泛函分析等眾多數學課程。由于這些課程理論性強，學生學習之后往往只對感興趣的知識點記憶深刻，而對于很多內容僅有模糊的印象，因此在學習數值代數的時候會有很多基礎知識需要重復學習。

在數值代數中數值算法都是對具體問題離散化之后的方程（組）進行處理，其中涉及到數值方法的構造，格式的推導，理論的證明，因此計算公式不僅較多而且復雜，學生在學習過程中很難做到熟練記憶、掌握與應用。

對于信息與計算科學專業的學生來說，僅僅學習數值代數中的數值計算方法與相應理論分析是不夠的，通常要求學生熟練掌握科學計算軟件Matlab、Mathematica、Mapple等。而在我國各高校，重視理論學習、輕視實踐思想普遍存在，學生通常只是埋頭做題，動手能力相對較弱，這就大大限制了學生的全面發展，也違背了數值代數這門課程的思想。因此教學內容和教學方法的改革對《數值代數》的教學會起到極大地促進作用。

三、《數值代數》課程教學改革

（一）教學方法的改革

在教學過程中，應該強調數值代數思想。信息與計算科學專業的學生畢業后有一部分繼續攻讀碩士研究生，但大部分學生是走入工作崗位，其中很多都是從事與計算機相關的行業。因此在講授數值代數這門課程的時候，重點給學生講授算法理論的思想。例如在實際計算中往往都是近似計算，因此我們要研究算法的誤差理論；迭代法雖然算法簡單容易實現，但是要有收斂性保證等等。這樣對于一些繁瑣的定理證明可以僅僅敘述定理思想，講清證明思路，對于有興趣進一步研究的同學進行單獨答疑。平時的教學過程中重點培養學生思考數值方法的改造，方法的構造，方法的評價準則?？梢酝ㄟ^科研訓練、科技創新計劃活動等培養學生查找閱讀文獻，發現與分析問題，應用數值分析方法解決問題的能力，也進而加深學生對基礎理論的理解，提高專業興趣以及分析問題、解決問題的能力。

通過多媒體視頻資料等直觀教學，充分調動學生的學習積極性，加深對問題背景的理解。例如在講授最速下降法時，通過多媒體演示可以讓學生明確地看到什么是最速下降方向，當增大條件數時，學生就會發現最速下降法的缺點：迭代解呈鋸齒狀逼近精確解，此時收斂速度極慢。

數值代數課程是一門理論與計算機緊密結合的課程，在教學過程中應加強上機實踐教學環節。每講完一個典型的算法，都應布置給學生上機作業，每章結束后，應讓學生總結對于同一個問題的不同算法之間的計算精度、收斂速度、運算時間等以及為什么會出現這種情況。這樣能培養學生分析問題解決問題的能力。

（二）數學建模思想融入的改革

數學模型是應用數學符號對某一實際問題或實際系統發生的現象（近似）的描述，數學建模的過程是：獲得數學模型——求解該模型并得到結論——驗證結論是否正確、合理并加以修改，最后到模型應用的全過程[2]。

然而，在數學建模競賽中，由于競賽時間的限制，學生創建模型往往會花去一半左右的時間，剩余的一天半中，要數值求解模型并撰寫論文，這對很多學生來說往往很難完成，其主要原因就是針對模型數值求解往往沒有現成的算法，學生對于算法思路掌握不夠靈活，因此在日常的教學實踐中應增強算法的來源的介紹，交代應用問題的背景，重點培養學生理解算法，掌握思想，進而可以靈活構造實用算法的能力。比如：如何確定權證的合理價值是證券發行商及投資者的首要問題，該問題可以建立非線性方程組的數學模型來解決。

四、結束語

隨著現代科學技術的迅猛發展，各類數學軟件的不斷開發，數值代數的作用不論在傳統計算數學領域還是在高新科學技術領域中，它的作用和影響會越來越大。因此《數值代數》課程教學改革需要教學工作者不斷探索和改進，選擇合適的教學內容，改進傳統的教學手段，這樣才能增加學生學習的積極性，進而讓學生掌握這門課程并能靈活應用。

參考文獻：

[1]張樹功等，數值分析（上）[M]，高等教育出版社，2010

[2]姜啟源等，數學模型[M]，高等教育出版社，2003

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數學建?？梢詾閿祵W理論和金融問題搭建一座橋梁。數學模型在金融領域已經有廣泛的應用，如證券投資組合模型、期權定價模型等。數學建模教育在金融人才培養中的作用是其他學科無法替代的，可以歸結以下幾方面：

1.提高學生的應用

數學素質以及學習興趣數學建模教學是案例教學，以實際問題為背景，利用數學思想方法解決實際問題，可以很好地將數學理論與金融實際問題緊密結合。如在量化投資中，可以基于智能算法建立套利模型；利用最優化方法研究資產組合模型等。數學建模教學可以避免抽象理論知識的講授，讓學生認識到數學在金融中的重要應用價值。同時，激發了學生學習數學的興趣，發現了數學的無窮魅力，提高對數學的認可度，體會到數學是一種重要工具。數學建模課程中講授了大量的數學建模思想方法，如時間序列分析、最優化方法、微分方程、智能算法等。常言道：授人以魚，不如授人以漁。通過數學建模的學習與訓練，可以拓寬學生的知識面，提高學生應用數學解決實際問題的能力。

2.培養學生的科研創新能力

數學建模是一個不斷探索的創造性過程。從不同的角度理解，同一個問題會得到不同的數學模型以及求解方法，沒有統一的標準答案，這為學生留出自由發揮的廣闊空間。在建立數學模型之前，必須查閱大量的資料，獲得自己所需要的信息。數學建模最終解釋實際問題必須以論文的形式呈現。經過數學建模訓練之后，學生的創新能力有了顯著的提升。例如我校獲得國家二等獎的小組，被選中參與量化投資大賽，最后也獲得了全國二等獎。因此，數學建模教育有助于提高學生的文獻查找能力以及論文撰寫水平、培養學生探索、研究能力、創造性地運用綜合知識解決實際問題的能力。

3.增強學生的綜合

素質數學建模教育除了培養學生應用數學的能力之外，還有一個目的就是為參加數學建模競賽做準備。數學建模競賽是以小組為單位開展工作，3個人分工明確，但又不可獨立開來。面對復雜的賽題，3個人只有共同思考、互相啟發、各司其職、、攻堅克難才能在規定的時間內完成。這種競賽模式培養了學生團隊合作精神以及攻堅克難的毅力，為今后能更好地適應工作中的挑戰奠定基礎。除以上之外，在數學建模過程中還培養了學生想象能力、抽象思維能力、發散思維能力、開拓創新能力、學以致用能力、綜合判斷能力、計算機編程能力等。而這些能力恰恰是21世紀金融人才應該具備的素質?？梢哉f一次參與，終身受益。數學建模為培養應用型創新型復合型金融人才提供了有效手段。

二、地方金融類院校開展數學建模教育措施

1.重視數學基礎知識

在金融中的應用高等數學中，我們可以用泰勒級數去近似一個抽象函數。教師在講授這節內容時，可以將其用于研究債券價格的變化以及波動性。在概率論中，概率分布研究不確定事件發生的可能性。二項分布在金融中最常見的應用是關于債券價格的變化。概率分布可以用于預測資產價格或資產收益率的未來分布。如果在高等數學、線性代數、概率論與數理統計等公共基礎課上適當引入以金融知識為背景的例子，學生將更加深入體會到所學的抽象內容在現代金融的有用武之地，有助于提升學生學習數學的興趣。然而，要在數學基礎課堂上將數學知識與金融專業知識相結合又是不容易的。數學基礎課程大多數為公共基礎部承擔，大部分教師沒有金融背景。因此，在招聘數學教師時應該適當考慮有金融背景的數學教師。

2.將數學建模思想方法與現代金融相結合

現代數學包含各門學科知識和數學方法。數學建模課堂上，教師講授大量的數學建模思想方法，如優化理論、多元統計分析、預測方法、回歸分析、現代優化算法、綜合評價法等。而數學建模教學采用的是案例教學法，如果能將其與現代金融相結合，有助于提升利用數學知識的能力，同時可以加深理解專業知識。以量化投資中多因子選股模型為例，在選股的時候，人們經常使用的方法是基于基本面或技術面。新興的量化投資也慢慢發展起來，相比傳統方法，量化投資更加客觀、理性。多因子選股模型是采用一系列因子作為選股標準，建立過程主要為候選因子的選取、有效性檢驗、冗余因子剔除、綜合評分模型的建立和模型的評價與改進。這一建模過程為數學建模思想方法與現代金融相結合提供了很好的范例。

3.開設金融建模與編程或數學實驗選修課

大數據時代對金融人才提出了更高的要求?；ヂ摼W金融、大數據金融要求金融人才必須具備一定處理數據、分析數據、計算數據的能力。目前，一些金融行業要求求職者必須具備一定編程能力，特別是熟練使用Matlab以及C語言。通過開設金融建模與編程或數學實驗選修課可以培養學生的編程能力以及計算能力，為今后就職奠定基礎，增加就業籌碼。對于一個金融問題，通過問題假設、分析、建立模型，之后，還得借助計算機求解。比如金融分析中的優化問題、回歸分析方法等。事實上，這些方法都有現成的函數可以調用。各種數學軟件都有各自的優勢所在，而對于金融模型，筆者更青睞于使用Matlab軟件。Mtalab的編程語言和規則簡單，較容易入門。在金融領域有以下幾種工具箱：金融數據工具箱、計量經濟學工具箱、金融衍生品工具箱、優化工具箱、統計工具箱。使用這些工具箱可以進行投資組合優化和分析、預測和模擬等。比如我們可以基于Matlab平臺，采用蒙卡洛模擬方法模擬新股申購中簽過程。

4.以競賽或立項為載體，提升建模能力

目前，數學建?；顒釉谖倚ｉ_展兩年以來，先后組織學生參與全國數學建模競賽、“華東杯”數學建模競賽等，取得了一項國家二等獎以及多項省賽區一等獎。我校數學建模課程為全校公共選修課，學生參與數學建?；顒訜崆檫€有待進一步提升。事實上，金融院校的學生學習了統計學、多元統計分析、運籌學、計量經濟學、時間序列分析等。學完這些知識再經過適當培訓完全可以勝任數學建模比賽。為了更好地發揮數學建模對金融人才的積極作用，我們必須通過各種形式宣傳、引導學生了解數學建模比賽，同時學校應該給予更多的政策支持，組織、鼓勵學生參與數學建模競賽、統計建模競賽、創新創業訓練項目。以競賽或立項為載體，項目為驅動，利用數學知識解決實際問題，特別是將數學知識與金融專業知識相融合，為應用型創新型金融人才的培養提供新途徑。

三、結語

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教育國的核心是培養創新型人才。全國大學生數學建模競賽是高校中參加人數最多、影響最廣泛的學科競賽之一，此項賽事由教育部高教司和中國工業與應用數學學會聯合主辦，迄今已舉辦21屆，它對創新型人才的培養起到了不可估量的作用，未來也將日益顯現它這方面的作用。長春理工大學從1996年開始參賽，成績斐然，已累計獲得國家級獎40余項，年均3項，2013年我校共有51隊153人參加全國賽，是吉林省除吉林大學外參賽隊數最多的高校。其中9隊獲得國家一等獎，11隊獲得省一等獎，21隊獲省二等獎，8隊獲省三等獎，獲獎率位居吉林省參賽高校前列。這主要歸益于以下幾方面：

一、賽前的動員及組織情況

賽前周密的宣傳組織工作是本次大賽取得成功關鍵因素之一。我校一直把組織數模競賽作為一項重要的教學活動納入了全年工作日程，專門成立了數學建模競賽領導小組，協調、督促、組織數學建模競賽各項準備活動。通過海報、課堂、網站等多種形式宣傳開展數學建?；顒?，鼓勵各學院學生踴躍報名。

二、競賽具體過程管理和實施情況

由專人統籌負責競賽工作。從每年四、五月份開始采取校級、省級競賽層層選拔的制度，把最優秀、最渴望參賽、最有能力的隊員吸納進來組成國家賽參賽隊伍。對于國賽隊員將認真組織賽前培訓和輔導工作。

三、本年度競賽獲獎情況分析

今年我校共有51個隊參加了全國大學生數學建模競賽，獲得國家獎9項，省級獎40項，獲獎率幾近100%。

四、競賽過程中存在的問題及擬解決的措施

1.競賽過程中存在的主要問題還是數學軟件使用和寫作兩方面，在今后的培訓和其他級競賽中應加強這兩方面的訓練。另外宣傳力度也有待加強。

2.今年全國賽我校51隊中有35支代表隊選擇了A題，此題是交通占道問題對城市交通能力的影響問題，實質是利用數學方法建立模型，需要學生有較好的微積分、常微分方程、運籌學等課程基礎，正是由于我校平時對大一大二的數學基礎課的精心講解和嚴格要求才使得我校學生有信心也有能力作出此題并取得了如此好的成績，今后我們將繼續加強數學基礎科的教學工作，同時注意在教學中滲透數學建模的思想、方法，培養學生參加建模的興趣。并希望以數學建模工作為平臺，通過多種形式大力開展數學建模教學與研究活動，以賽促學、以賽促教，以競賽推動教學研究，以教學研究提高競賽質量。B題選擇隊數相對較少，原因主要是該題是關于碎紙文字的拼接復原模型，需要隊員熟悉算法，精于編程，大多數同學不敢碰此題原因就是編程能力過弱。

3.國家賽獲獎結果反映出理學院、計算機科學與技術學院、光電工程學院、電子信息工程學院的學生獲獎人數占到98%，創新實驗班參賽人數并不多，僅占總人數的33%，特別是計算機科學與技術學院的創新實驗班僅有8人參加，不及總人數的6%。

五、對學校的建議和意見

1.認真組織各級數學建模競賽，建議提前到3月中旬組織校數學建模競賽，改進選拔方式，通過評審、教師推薦、答辯精選國賽參賽隊員，加大對數學軟件、算法的培訓；5月下旬到7月中旬，利用周六對選拔出的學生進行實戰培訓，建議全體隊員模擬實戰，完成3-4道往年的競賽題目，并提交論文，指定專門教師負責指導。

2.進一步宣傳發動，動員更多的學生參加數學建模競賽，特別是加大對計算機學院的宣傳力度，爭取更多的計算機科學與技術學院，特別是動員計算機科學與技術學院創新實驗班的同學參賽。

3.繼續舉辦大學生數學建模培訓，切磋技藝，交流經驗，提高水平。組織教師精講獲國家獎的學生論文。同時每年選派2至3名指導教師參加建模交流會議及理論學習，也讓更多教師參與數學建模類教改科研項目，將數學建模作為一件可持續發展的項目開展。

4.抓好數學建?；亟ㄔO，定期做講座和研討，打造一支高素質建模指導教師隊伍。

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關鍵詞：暖通空調制冷系統;系統建模;發展趨勢

Abstract: in this paper the refrigeration system modeling and optimization control this impact hvac system efficiency and control the key problems, through to the refrigeration system of refrigerator, and the whole system of the expansion valve, the principle of the characteristics are analyzed and summarized the refrigeration system and key components of modeling and optimization technology development, this paper analyzed the mechanism and kinetics equation modeling based on the modeling method for refrigerator, throttling parts key components and system the advantages and disadvantages of each method, based on single input and single output/input/output and all kinds of control strategy are analyzed. According to the development of related technologies, points out the refrigeration system control technology in the future development tendency.

Keywords: hvac refrigeration system; System modeling; Development trend

中圖分類號：U463.85+1文獻標識碼：A 文章編號：

引 言：目前 ,我國的制冷設備所消耗的電能占到全國總耗電量的 6 %～7 %. 在一些大城市 ,夏季空調設備的用電量占到 30 % ,而制冷機是制冷設備中耗能最大的部分 ,在中央空調系統中約占系統能耗的 50 %. 現有的制冷設備 ,一般都將最佳效率點設定在額定容量輸出上. 而實際上 ,由于空調等制冷設備的工作狀態經常低于額定容量 ,這時的熱效率遠低于額定負荷下的運行效率 ,大量的能源被浪費掉,因此 ,降低制冷設備的能耗已經成為緩解我國能源緊張的一個重要途徑,同時也是實施我國經濟和社會可持續發展戰略的一項重要內容.制冷機是空調系統的核心 ,由于制冷機占整個空調系統的能量消耗比例很大 ,制冷系統控制方法對整個空調系統運行效率影響非常大 ,因此 ,近年來制冷系統的建模與優化控制的研究成為暖通空調和控制領域研究的熱點問題之一. 從時間順序上看 ,制冷系統的建模與控制經歷了從單體建模到整體建模 ,從單輸入單輸出控制向多輸入多輸出控制的有機過渡. 本文試結合當前國內外該領域的研究成果 ,對制冷系統的建模與控制做一綜述.

1 蒸汽壓縮空調制冷系統數學模型的發展情況

1. 1單體部件建模概述

蒸汽壓縮系統可以分解成壓縮機、膨脹閥、冷凝器和蒸發器這四個關鍵環節. 壓縮機為制冷劑的流動提供動力 ,同時也是制冷循環能夠實現制冷的關鍵部件. 該部件模型的計算決定了制冷劑流量的大小. 現有的壓縮機有很多種類型 ,如活塞式壓縮機、螺桿式壓縮機、回旋式壓縮機、離心式壓縮機等. 建立壓縮機模型的目的也就是求出壓縮機出口制冷劑的質量流量和壓縮機的轉速的關系. 為了在保證計算精度達到要求的前提下盡量實現對系統的優化 ,必須對模型做大量的簡化.很多模型通常如前面假設中所說的視壓縮過程為絕熱過程 ,這樣的模型通用性強 ,但針對不同壓縮機的容積效率和電效率是通過大量試驗數據回歸成經驗公式來求得的.

節流部件是制冷系統的壓力調節機構 ,是制冷循環高壓區和低壓區的分界點 ,它直接決定了系統的蒸發壓力和冷凝壓力. 制冷系統中常用的節流部件有熱力膨脹閥、電子膨脹閥和毛細管等. 熱力膨脹閥在汽車空調中應用廣泛. 電子膨脹閥由于其自動化程度較高 ,常用于變頻空調.由于電子膨脹閥能使系統所提供的制冷量對負荷的變化做出快速的反應 ,維持蒸發器出口制冷劑的過熱度最佳 ,保證蒸發器的面積得到充分的利用 ,具有節能的特性 ,因而在變頻空調系統中得到越來越廣泛的使用.

蒸發器和冷凝器中制冷劑的貯存量占了整個系統的大部分 ,是熱傳遞的主體部分 ,蒸發器和冷凝器所采用的模型的準確性直接影響系統模型的準確性. 制冷劑在換熱器中以單相和氣液兩相態存在. 針對研究的不同目的和要求達到預期效果 ,可建立換熱器的穩態分布參數模型、動態集中參數模型、動態分布參數模型和穩態集中參數模型.相對集中參數模型來說 ,分布參數模型的結果精確度更高 ,但占用的時間更多 ,收斂速度更慢. 但無論哪種模型 ,本質上都是基于熱力學的三個基本方程 ,即連續方程、動量守恒方程和能量守恒方程來建模的.

1 .2單體部件建模的發展

經過研究熱交換器中有兩項流的動態模型. 為了簡化兩項流的表達式 ,利用換熱器兩項區的空隙部分的變邊界方程建立了數學模型,即使采用集中參數法 ,整個兩項區都可以在足夠小的細節上加以討論 ,而不必使用動量方程的形式.

有的模型是利用動量方程形式建立起來的模型. 其所建立的空氣 ―――空氣熱泵系統模型使用了移動邊界集中參數方程. 在文獻中建立了所有的單體元件 ,包括熱交換器風扇和電動機軸的動態數學模型. 然而 ,文獻中并沒有提及閥的動態特性.

利用集中參數法建立了制冷系統多個部件的數學模型 ,其中包括套管式蒸發器冷凝器、氣冷式冷凝器及壓縮機等部件的動態模型.其中的密封往復式壓縮機的數學模型 ,所不同的是考慮了制冷劑的融解.利用流動模型建立了換熱器的數學模型 ,模型中把蒸汽區和液態區區分開來 ,給出了兩區之間的質量與能量的交換關系.

還有一種簡化的由往復壓縮機和套管式熱交換器構成的液體冷凝系統的動態數學模型. 采用的熱交換器的離散化方法.

1.3系統整體建模

得到單體模型之后 ,需要把各部分的模型擬合到一起 ,合成一個完整的系統. 系統算法大致可以分為兩類:一般的解線性方程組的方法和物理順序構建法.一種方法是采用一般的解線性方程組的方法 ,如常用的方法有龍格 -庫塔法、牛頓 -拉弗森法等. 使用通用的軟件編程工具 , 這種算法不要求使用者具有很高的算法設計水平和編程能力. 但它的最大缺陷是無法保證技術的絕對穩定性 ,計算過程的物理意義不明確 ,而且很難獲得明確的計算過程信息以解決計算工程中的問題.

在大量研究人員建立起來的模型的基礎上 ,對單蒸發器、雙蒸發器以及更為一般化的多蒸發器蒸汽壓縮系統建立動態的數學模型 ,以便用于預測控制和設計. 在文獻中首先對制冷系統的單個元件進行建模 ,另外還建立了具有廣泛適應性的多蒸發器蒸汽壓縮系統的數學模型. 之后對模型做出簡化 ,使階次降低. 利用這個降階的模型 ,針對單蒸發器系統設計多變量自適應控制器;更進一步 ,通過基于機理的非線性模型在設定點附近的線性化 ,得到整個系統的線性模型 ,最后得到一個完整的線性模型.很多人用它來控制一個雙蒸發器的蒸汽壓縮系統. 這兩種控制策略都表現出很好的性能.

2 制冷系統控制算法的研究發展情況

由于制冷系統構成和運行機理非常復雜 ,因此冷媒的狀態、流量的變化、熱交換器的傳熱效率、壓縮機的特性等很多因素都相互關聯相互影響. 從工程應用目的出發 ,出現了把制冷控制系統簡化成多個單輸入/ 單輸出控制系統和從優化控制目的出發的多輸入/ 多輸出控制系統的兩類控制方案.

2 .1 單輸入/ 單輸出控制

目前 ,從單個元件來講(壓縮機與膨脹閥),以蒸發器過熱度為目標的電子膨脹閥的控制算法和以制冷量為目標的壓縮機控制算法中應用較多的仍然是 PID 控制.蒸發器進出口溫度對閥開度的響應用兩個帶延遲的一階傳遞函數模型表示 ,利用這個模型 ,詳細討論了 PI 控制對系統穩定性的影響. 通過對控制系統開環頻率特性的 Nyquist 曲線分析發現 ,比例常數 K p 一定時 ,積分常數 K i數值由零增加 ,系統由穩定過渡到不穩定. 所以 ,PI 控制參數 K p , K i 值對穩定性的影響與熱力膨脹閥的增益值對其流量的影響是類似的.

但是 ,由于 PID 控制器參數的整定是建立在簡化的、不變的模型基礎上的 ,而蒸發器過熱度系統的數學模型很容易受到負荷、運行工況等條件的影響 ,所以簡單的 PID 算法控制蒸發器的過熱度在很多情況下難以達到滿意的結果. 因此很多研究者針對這個問題將 PID 算法進行改進 ,實現PID 參數的在線校正 ,以達到更好的控制效果.同時有大量研究者采用 PID 算法控制熱泵系統電子膨脹閥的運行 ,為實現蒸發器過熱度的有效控制 ,需要在運行過程中動態調整 PID 參數.

2.2多輸入/ 多輸出控制

近年來 ,隨著現代控制理論、智能技術及計算機微處理器技術的發展與成熟 ,采用高級控制策略 ,實現制冷系統的最優化控制成為了研究熱點.基于制冷系統簡化模型設計的獨立單回路控制策略 ,不能真正實現制冷系統的最優化控制. 制冷控制正從單輸入/ 單輸出控制向多輸入/ 多輸出控制方向發展 ,控制器根據性能指標要求 ,同時控制多個變量 ,如壓縮機轉速、膨脹閥開度、冷凝水泵(冷風機) 轉速等來同時調節蒸發器過熱度和制冷量等.

如國內的西安交通大學和上海交通大學在這面進行過一些探索.采用仿真的方法研究了控制參數和干擾參數對制冷系統的影響 ,即分別研究了冷凝器風機風速、蒸發器風機風速、膨脹閥開度、壓縮機轉速、回風溫度及環境溫度變化對制冷系統的影響 ,為多變量控制器的設計提供了依據.

3 制冷系統建模與控制領域今后的發展方向

3.1 蒸汽壓縮系統的動態模型的研究超過了 20 年.從找到的文獻中可以看出 ,近年來大家都致力于研究更好的、更為細致的動態模型. 建模的目的大多是為了控制器的設計.

3.2高級控制策略的發展及應用

現有的中央空調系統主要致力于自動化水平的提高. 采用的是以傳統 PID 為控制策略的回路控制 ,CPU 核心處理以 8 位單片機為主. 隨著智能控制理論的發展 ,高級控制策略必將成為主流.可以實現被控對象在變負荷、多工況、任何初始條件下逐步學習達到最優控制的目的 ,從而實現各環節的最佳控制. 需要說明的是系統中的電子膨脹閥的穩定性專題研究尚不完善 ,基本上是照搬熱力膨脹閥的經驗.

結束語：

以上對空調系統的控制及其應用進行了簡單的介紹，建筑物內的空調系統是一個復雜的系統，要想控制得好，要根據不同的空調設備，不同的建筑物來具體設計自動控制系統，才能充分發揮先進的自動控制系統的強大功能，真正達到節約能源，降低人員工作量的目的。可以預見，隨著計算機技術、控制技術和通信技術的進一步發展，更完善的空調能量管理控制系統出現，給人類帶來更舒適的居住環境。

參考文獻：

[1]蔡龍俊等．住宅建筑集中空調系統的型式及特點．空調暖通技術[J]，1998，(2)。

[2]龍惟定等．試論中國的能源結構與空調冷熱源的選擇取向暖通空調[J]，2000，(5)。

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一、小學數學模型思想

在整數的運算中，學生掌握的整數四項基本單向運算的方法是小學接觸的數學模型，十進制是表示數的基本模型，是日常生活中使用最多的計數方法。一年級學生接觸的“湊十法”與“破十法”就是以其為基礎“一看（看大數）、二拆（拆小數）、三湊十、四連加”的思考過程，實際上就是學生在教師指導下建立的較為復雜的數學模型。因此，在小學生的數學教學過程中，不可避免地要用到數學建模思想。

二、開展數學建?；顒拥耐緩?/p>

數學建模活動的開展是為了培養學生的思維能力以及創新能力，因此，在小學數學教學中要革新思想，用數學建模的思想去進行數學教學。開展數學建?；顒有枰蠋熀蛯W生的共同努力，老師要加強對數學建模的重視，在教學過程中滲透建模思想，學生要積極配合老師，團結合作共同完成建模過程。

數學建模的過程離不開資料的收集，因此，教師可以結合教材創造數學情境，讓學生在學習的過程中獲得“搜集資料、建立模型、解答問題”的體驗。例如，西師版教材中三年級上的第九章的總復習――數學文化：中國的四大發明之一――指南針，四面八方，平年、閏年的來歷，可以通過讓學生收集資料，并解答相應的問題，通過合作、收集資料、解答的過程體驗數學建模。

上好實踐活動課程對學生模仿建模有很好的指引作用，老師在教學過程中給學生提供信息資料，引導學生進行問題分析以及資料的收集，提高學生的思維能力。結合教材內容，對教學內容進行整合，并融入生活中。例如，西師版教材中實踐活動――做一個家庭年歷，結合生活實際，同時在要求學生理解年、月、日概念的情況下，考慮當下的問題背景：今年是什么年份，有幾月，一月有幾天，并對年歷進行設計規劃，是一個很好的建模過程。

改編教學習題，使數學建模成為一種自覺行為。例如，在西師版小學數學中關于圓柱體和正方體體積的計算中，通過建立數學關系，探討圓柱與正方體的關系，在體積相同時，圓柱的底面半徑、周長、高與長方體的長寬高的聯系（圓柱的底面半徑等于長方體的高，底面周長等于長方體的長，圓柱的高等于長方體的寬），進而解決練習題中關于圓柱和長方體體積的轉變計算。

三、數學建模思想在小學數學教學中的應用

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【關鍵詞】高中數學；數學建模

一、正確認識數學建模

（一）什么是數學建模

談到數學建模，首先要知道什么是數學模型。數學模型是人們對于某一特定對象，為了一定的目的，根據對象特有的內在規律，運用數學工具得到一個數字結構，這個數字結構可以是數學公式，算法，表格，圖示等。數學建模簡而言之就是建立數學模型。當然，建立數學模型的目的是解決實際問題，要在建立數學模型的基礎上進行求解，驗證和應用。所以，我們可以把數學建模定義是一種數學的思考方法，是運用數學語言和方法，通過抽象，簡化，確立起一種數學結構并進行求解，驗證，從而能為實際問題的解決提供有效的數學手段。

（二）建模的意義

數學是從實踐中產生的，數學的意義在于解決實際問題，應用數學方法解決實際問題，首要和關鍵的一步就是建立數學模型。從自然科學到社會科學，從科技前沿到日常生活，數學建模無處不在。

二、數學建模在高中數學中的體現

（一）高中數學在教材中的體現

高中數學“人教A版”教材在序言，課題引入，探究與思考，例題，習題，閱讀材料和實習作業等方式中都編排應用問題，從不同的角度，不同維度對數學建模與應用進行介紹。

序言一般通過介紹數學歷史或一個現實問題引入該章的知識內容、突出本章知識所占據的地位和學習本章的重要性。

課題引入：在具體情境中說明實際問題，進行概念引入。

探究與思考：用來引出新知識，鞏固知識，深化知識。

例題，習題：培養分析，解答能力，使學習掌握解決問題的一般思路和方法。

閱讀材料和實用作業：目的是擴大了學生的閱讀面，利于激發學生的學習興趣。

（二）高中數學建模在高考中體現

從對高考數學應用題考察量的統計和對高考數學應用題考察內容的統計。

1.統計了2006年至2015年全國各地的這10年數學建模相關的應用性高考題，從地區維度比較可以發現，高考題中體現數學建模思想的應用題比例大多區域穩定，維持在10%之上，時間維度比較，數學建模解決問題的思想越來越受到人們關注。

2.高考題中的應用性問題大體上可以分為初等模型中的函數模型（包含數列類應用知識）概率統計模型，不等式模型，三角模型，排列組合模型和幾何模型

三、案例（數列類應用知識）

你正在為你父母的投資選擇充當顧問，你的父母早就想改善住房條件，5年前在銀行開設5年期零存整取賬戶，堅持每月在工資發放當天存入現金1000元，從沒間斷，今年剛好到期，最近，你的父母看中一套價值20萬的房子，決定從銀行取出這筆村存款，不足部分再向銀行申請按揭貸款，我們在一起研究你的父母還需要向銀行貸多少款？

問}分析：題中所要解決的問題：父母存款額，需貸款額，父母的償還能力，模型假設。銀行存貸款利率不隨物價波動，即為常數，模型建立與分解。母現在共有存款多少？還需貸款多少？

在上述簡化假設下，父母五年存入5*12*1000=60000元 每筆款子由于存期不同所得本利也不同，按單利計算，當年五年期零存整取的日利率為8/1000，每期一個月，1000元每期的利息為：

1000*8/1000=8元，設按本金存入順序本利和依次為：

a1、a2.....a60

則a1=1000+60*80 a2=1000+59*8 a3=1000+58*8

a60=1000+8

故{an}為公差d= -8的等差數列

求等差數列前幾項和Sn=n（a1+an）/2=74640元

200000-74640=125360元

父母現有存款74640元，還需向銀行貸款約13萬元。

建模思想在數學學習起到了很重要的作用，用好建模思想，讓數學變得有趣，簡單，易懂。

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正如弗賴登塔爾所認為的：“學生自己發明數學就會學得更好”，“讓他們經歷數學化的過程，這是教學的第一原則”。

一、建模的策略

1、精選問題，創設情境，激發建模的興趣。

數學模型都是具有現實的生活背景的，這是構建模型的基礎和解決實際問題的需要。如構建“平均數”模型時，可以創設這樣的情境：4名男生一組，5名女生一組，進行套圈游戲比賽，哪個組的套圈水平高一些？學生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績等，但都遭到了否決。這時 “平均數”的策略應需而生，構建“平均數”的模型成為了學生的需求，同時也揭示了模型存在的背景、適用環境、條件等。

2、充分感知，積累表象，培育建模的基礎。

數學模型關注的對象是許多具有共同普遍性的一類事物，因此教師首先要給學生提供豐富的感性材料，多側面、多維度、全方位感知這類事物的特征或數量相依關系，為數學模型的準確構建提供可能。如一年級“湊十法”模型構建的過程就是一個不斷感知、積累的過程。首先通過探究學習9加幾的算法，初步了解湊十法；接著采取半扶半放的方式學習“8、7加幾”的算法，進一步感知湊十法更廣的適用范圍；最后，學習6、5、4加幾，運用湊十法靈活解決相關計算問題。學生經歷了觀察、操作、實踐、討論，體驗到了“湊十法”的內涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅實的基礎，提供了充分的準備。

3、組織躍進，抽象本質，完成模型的構建。

實現通過生活向抽象數學模型的有效過渡，是數學教學的任務之一。具體生動的情境問題只是為學生數學模型的建構提供了可能，如果忽視從具體到抽象的躍進過程的有效組織，那就不成其為建模。如四年級上冊“平行與相交”，如果只是讓學生感知火車鐵軌、跑道線、雙杠、五線譜等具體的素材，而沒有透過現象看本質的過程，當學生提取 “平行線”的模型時，呈現出來的一定是形態各異的具體事物，而不是具有一般意義的數學模型。而“平行”的數學本質是“同一平面內兩條直線間距離保持不變”，教師應將學生關注的目標從具體上升為兩條直線及直線間的寬度（距離）?？梢宰寣W生通過如下活動來組織躍進過程：

（1）提出問題：為什么兩條直線永遠不相交呢？

（2）動手實驗思考：在兩條平行線間作垂線。量一量這些垂線的長度，你發現了什么？你知道工人師傅是通過什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎？

經歷這樣的學習過程，學生對平行的理解必定走向半具體半抽象的模型，從而構建起真正的數學認識。在這一過程的組織中，教師要引導學生通過比較、分析、綜合、歸納、操作等思維活動，將本質屬性抽取出來，構成研究對象本質的關鍵特征，使平行線完成從物理模型到直觀的數學模型，再到抽象的數學模型的建構過程。

4、重視思想，提煉方法，優化建模的過程。

不管是數學概念的建立、數學規律的發現還是數學問題的解決，核心問題都在于數學思維方法的建立，它是數學模型存在的靈魂。如《圓柱的體積》教學，在建構體積公式這一模型的過程中要突出與之相伴的“數學思想方法”的建模過程。一是轉化，這與以前的學習經驗相一致，是將未知轉化成已知；二是極限思想，這與把一個圓形轉化為一個長方形類似，是在眾多表面上形態各異的思維策略背后蘊藏的共同的具有更高概括意義的數學思想方法。重視數學思想方法的提煉與體驗，可以催化數學模型的建構，提升建構的理性高度。

5、回歸生活，變換情境，拓展模型的外延。

人的認識過程是由感性到理性再到感性循環往復、螺旋上升的過程。從具體的問題經歷抽象提煉初步構建起相應的數學模型，并不是學生認識的終結，還要組織學生將數學模型還原為具體的數學直觀或可感的數學現實，使已經構建的數學模型不斷得以擴充和提升。如初步建立起來的“雞兔同籠”問題模型，它是通過“雞”、“兔”來研究問題、解決問題從而建立起來的。但建立模型的過程中不可能將所有的同類事物列舉窮盡，教師要帶領學生繼續擴展考察的范圍，分析當情境數據變化時所得模型是否穩定。可以出示如下問題讓學生分析：

9張桌子共 26人，正在進行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打的各幾張桌子？”“甲、乙兩個車間共 126人，如果從甲車間每 8人中選一名代表，從乙車間每 6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車間各有多少人？”……這樣，便可使模型不斷得以豐富和拓展。

二、拓寬建模的途徑

開展數學建?；顒樱P注的是建模的過程而不僅僅是結果，更多的是培養思維能力，特別是創造能力。因此，在小學數學教學中要轉變觀念，革新課堂教學模式，以“建模”的視角來處理教學內容。

1、根據教學內容，開展建?；顒?。

教材中的一些內容已經考慮按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊含的建模思想，精心設計和選擇列入教學內容的現實問題情境，使學生從中獲得“搜集信息，將實際問題數學化，建立模型，解答問題，從而解決問題”的體驗。

2、上好實踐活動課，為學生模仿建模甚至獨立建模提供有效指導。

重點應放在對問題背景、問題條件的考察以及模型建立過程的引導與分析上，力圖使學生弄清其中所蘊涵的思維方式與方法?？梢越Y合教材內容，適當對各種知識點進行整合，并使之融進生活背景，生產出好的“建模問題”作為實踐活動課的內容。如蘇教版六（上）安排了這樣的問題：找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法、怎樣包裝最節省包裝紙。

3、改編教材習題，放大功能，使建模教學成為一種自覺行為。