養老金替代率與養老險基金缺口預測

導語：養老金替代率與養老險基金缺口預測一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

養老保險制度的改革在于保障廣大退休人員的晚年基本生活，關系到社會穩定和老齡化社會的順利過渡。現在，我國的養老保險改革正處于過渡期，預測養老保險基金的運行情況，對于完善養老保險制度的安排具有重要意義。本文針對文獻[1]提出的問題，建立一系列的預測方法。

1社會平均工資的預測

養老金的發放與社會平均工資有著密切的關系。社會平均工資是指某地區（如某省）按年統計的職工平均工資。一般來說，社會平均工資逐年增長，增長率并不固定且隨地區而異，所以預測養老保險基金的運行，首先要預測社會平均工資的變動。文獻[1]給出了山東省1978年至2010年的職工平均工資統計表，要求以此為依據，預測該省從2011年至2035年的年平均工資。

1.1預測模型的理論分析

設y為年工資、t為時間，為避免計算數據的畸變，用t=1表示1978年，t=33表示2010年。文獻[1]給出了33個數據yt（1≤t≤33），其中y33=32074（單位：元，下同）。經濟性增長預測通常考慮指數模型y=aekt或邏輯斯蒂模型[2]y=（a+be-kt）-1，其中a、b、k為待定參數。前者可化為線性回歸，但預測值會無限增長，且增速越來越大，不符合實際情況；后者不能線性化，用最小二乘擬合需做三維非線性搜索。有人在邏輯斯蒂模型中先選定k或a，經回歸擬合后再設法做一些調整，但這些方法的預測結果都顧此失彼，經不起關于合理性的質疑。預測的準確性，當然最好由實踐檢驗，但“將來”尚未發生，檢驗無從談起。事實上，預測不總是準確的，其優劣只能用合理性來評判，有了合理性，才會有可靠性。一個好的預測，應該滿足以下三個基本條件：

（1）預測模型要有理論依據的支持。邏輯斯蒂模型具有阻滯性質，有經濟理論的支持，可信度有保障。指數模型只能在變型期工資快速增長階段有效，用于長期預測，缺少理論依據。

（2）預測模型要保持連續性。這一點往往被忽視。尤其要保持“過去”與“將來”的交界點，即“現在”的連續性，具體而言就是2010年的連續性。工資增長最看重“當前”的基數，如果有跳空缺口，那么相當于將預測模型建立在“空中樓閣”之上，連預測近在眼前的2011年都非常不準，何談以后？遠期預測還有追加信息的機會，近期則沒有，所以近期預測的不合理性，已經對整個預測做出了自我否定。有人關注t→∞時預測模型的“合理性”，這是一種偏見。因為任何模型都不可能預測到無窮遠處，所以談論工資趨向的“合理性”毫無意義。工資的變化與許多因素有關，對邏輯斯蒂模型要有深入的理解，在不同階段，參數a、b、k的取值會因環境而變，只有隨著時間的推移，不斷追加信息，才能不斷完善遠期的預測。

（3）預測模型要充分運用現有的信息。對預測函數與散點的偏差進行最小化是充分利用信息的表現。在數理統計中，用偏差平方和作為目標是慣例，比較成熟。此外，還可考慮偏差的均勻性指標。但要明確的是，充分利用信息，最小化偏差平方和是一個有效途徑，反之則不然，實施了偏差的最小化，未必充分利用了信息。由于是預測未來的工資，而不是預測過去的工資，也就是說，其預測函數與散點吻合的好差不是評判的標準，重要的是信息處理的合理性。比如，在存在跳空缺口的情況下，是在錯誤的基礎上利用信息，非但不充分，反而會差之毫厘謬以千里。又比如，用線性化方法處理非線性問題，對信息的利用可能會產生異變。

1.2合理的預測模型

在上述分析的基礎上，我們提出以下預測模型：min33t=1Σt1a+be-kt-ytΣΣ2s.t.a+be-33k=（32074）-1這是一個二維非線性規劃，目標函數是加權的偏差平方和，加權體現了對近期信息的注重，約束條件來自于t=33（2010年）處的連續性y（33）=y33=32074。這個模型沒有解析解，可用數值搜索的方法。用Matlab或Excel表都不難完成二維搜索。得到的具體結果為y=10000（0.06024）+（30.1094）e-（0.1450）t（1）以下將函數（1）記為y=y（t），它與散點擬合的均方誤差為σ=455。該誤差不如指數模型對應的σ=442，更不如無連續性約束經三維搜索得到的最小值σ=404，但比較這個指標沒有意義，因為我們需要預測未來而不是預測過去，擬合誤差小，只說明用來“預測”過去比較好。利用模型（1）預測未來的社會平均工資y（34）~y（67），部分結果如表1所示。

2養老金替代率的預測

2.1兩個關鍵的概念

關于養老金的計算，必須理解和把握兩個關鍵的概念：“個人指數化月平均繳費工資”和“繳費指數”。為敘述方便，本文改按順時累計年份的流水號：i=0表示繳費起始年，i=n-1表示繳費結束年，n為繳費年限，i=n表示退休年，退休的那一年當然不繳費。

2.1.1個人指數化月平均繳費工資個人指數化月平均繳費工資記為S，計算公式為[2]S=cn-112nn-1i=0Σxici（2）其中：xi是第i年的個人繳費工資額，ci是第i年的社會平均工資。個人指數化月平均繳費工資是將不可比的xi，通過社會平均工資ci換算為反映參保人員在整個繳費年限的繳費工資平均水平。

2.1.2繳費指數職工第i年的繳費指數定義為λi=xici這里的ci可按公式（1）預測。設開始繳費的年份序號為T（例如2000年的年份序號為T＝2000－1977＝23），則預測值ci=y（T+i）。當然，如果T+i≤33（對應2010年），那么可直接用已知數據ci=yT+i，不必預測。但第ii年的個人繳費工資額xi卻因人而異、因年而異，不易獲得此項數據。文獻[1]對此給出了重要提示：“某企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，可看作職工繳費指數的參考值。”這樣就解決了繳費指數的計算問題。文獻[1]給出了山東某企業各年齡段的工資分布表，由此計算各年齡段平均工資與企業平均工資之比，作為職工繳費指數λ的參考值，計算結果如表2所示。比如某職工從30歲開始繳費，到60歲退休，則n=30。其繳費指數從表2查得為：λ0~λ4=0.983，λ5~λ9=1.067，…，λ25~λ29=1.155。表2中缺少60~64歲的繳費指數，可通過數據擬合估算。將各年齡段用序號v表示，畫出散點圖后可以看出，大致呈拋物線狀，故用二次函數擬合，得到λ=（0.4169）+（0.2453）v-（0.01882）v2以v=9代入，可得60~64歲的繳費指數為λ=1.100。

2.2養老金的計算

2.2.1A賬戶和B賬戶

我國企業職工基本養老保險實行“社會統籌”與“個人賬戶”相結合的模式。企業把職工工資總額按20%的比例繳納到社會統籌基金賬戶，這部分簡稱為A賬戶；職工個人工資按8%的比例繳納到個人賬戶，簡稱為B賬戶。第i年的個人繳費工資額xi不易獲得，但可通過繳費指數計算：xi=λici。A賬戶由社會統籌基金撥付，所以A賬戶沒有利息，計算比較簡單，退休時A賬戶中儲存額的計算模型為A=n-1i=0Σ（20%）xi=0.2n-1i=0Σλici（3）B賬戶（個人賬戶）中的儲存額需要計算利息，每年的利息可通過轉存計入本金，故按復利計算。為簡單起見，年利率統一設定為r=3%，則到退休時B賬戶中儲存額的計算模型為B=0.08n-1i=0Σλici（1+r）n-i（4）。

2.2.2養老金的計算公式

我國企業退休職工的養老金計算公式[3]為：養老金＝基礎養老金＋個人賬戶養老金；基礎養老金＝（全省上年度在崗職工月平均工資＋個人指數化月平均繳費工資）÷2×繳費年限×1%；其中“：全省上年度在崗職工月平均工資”顯然為cn-1/12，“個人指數化月平均繳費工資”即S，“繳費年限”用n表示；“個人賬戶儲存額”即公式（4）的B，“計發月數”用m表示，其數值可參看文獻[1]，而幾個特殊的值為：55歲退休m=170，60歲退休m=139，65歲退休m=101。設基礎養老金為p（每月），個人賬戶養老金為q（每月），則每月的養老金為（p+q）。將上面的文字型計算公式改換成數學公式，可得p、q的計算公式為p=cn-112i+Sin2•（1%），q=Bm再將式（2）和式（4）代入，即得p=cn-12400n+n-1i=0Σλiii（5）q=0.08mn-1i=0Σλici（1+r）n-i（6）2.3養老金替代率的計算養老金替代率是指職工剛退休時的養老金占退休前工資的比例。退休前的工資是指退休前一年的月工資，即xn-1/12，而xn-1=λn-1cn-1，所以養老金替代率μ可用數學公式表示為μ=p+qxn-1/12=12（p+q）λn-1cn-1，將式（5）、（6）代入，可整理為μ=1λn-11200n+n-1i=0ΣλiΣii+0.96mn-1i=0Σλi（cicn-1）（1+r）n-Σi（7）其中：ci可查表1：ci=y（T+i）（T+i＞33），或用已知數據：ci=yT+i（T+i≤33）；λi可查表2；r=3%。有了養老金替代率的計算式（7）和表1、表2等數據及60~64歲的繳費指數推算值λ=1.100，很容易利用Excel表計算得到各種情況下的養老金替代率。表3列出了企業職工自2000年（對應T=23）起分別從30歲、40歲開始繳養老保險，一直繳到退休（55歲，60歲，65歲）的計算結果，表中附有各種情況下的繳費年限、個人賬戶養老金計發月數的規定值m，這些數據對計算安排有

目標尚有較大差距。

3養老保險基金缺口的預測

3.1養老金的調整

增長率的一定比例[4]，記該比例為β。設第i年（i≥n）的基礎養老金為pi，個人賬戶養老金為qi，則pi+1=piβ（cici-1Σ-1）+1Σ（8）qi+1=qiβ（cici-1Σ-1）+1Σ（9）其中：pn=p和qn=q分別由公式（5）、（6）確定，社會平均工資ci的下標滯后一年，是因為其統計結果通常在次年獲得。根據網上查得的數據[3]，計算2008年~2010年的β值依次為0.53、0.64、0.80，呈上升趨勢。考慮到社會平均工資的增長率將逐步減小且β≤1，因此估計以后的β值大致穩定在β=0.8。代入式（8）、（9），不難遞推計算出退休后所有年份的養老金。

3.2賬戶余額函數

A賬戶和B賬戶合稱為養老保險基金。賬戶的運行規則是基礎養老金pi由A賬戶撥付，個人賬戶養老金qi由B賬戶支付，故賬戶余額應分別計算。A賬戶不計利息，賬戶余額容易計算。設A賬戶第i年的余額為f（i），則有遞推式f（i）=f（i-1）-12pi（10）其中：i≥n；f（n-1）=A由公式（3）確定；pi由公式（8）確定。B賬戶在支付養老金的同時，仍在產生利息。設B賬戶第i年的余額為g（i），則g（i）=wig（i-1）-12qi（11）其中：i≥n；g（n-1）=B由公式（4）確定；qi由公式（9）確定；g（i-1）≥0時wi=1+r，g（i-1）＜0（發生透支）時wi=1。f（i）和g（i）稱為賬戶余額函數。由上述遞推公式可算出退休后任何一年的賬戶余額。需要說明的是，公式（11）是按年計息，而養老金是按月發放，似乎可以做更細致的利息計算。其實不然，因為無論在哪個月發放養老金，B賬戶都處于同一計息年度，尚未達到計息時限，屬于提前支取，不計利息，所以公式（11）并無瑕疵。

3.3兩個賬戶的收支平衡點

A賬戶和B賬戶分開運作，余額非負時，兩者互不干擾。兩個賬戶都有可能發生透支，因為有社會統籌支撐，所以透支不影響養老金的支付，但計算透支額，即可知道養老保險基金的缺口情況。若有某個I＞n，使得f（I）≥0而f（I+1）＜0，則I就是A賬戶收支平衡的年份。若有某個J＞n，使得g（J）≥0而g（J+1）＜0，則J就是B賬戶收支平衡的年份。兩個賬戶的收支平衡點一般不相同。下面是一個具體例子。某職工自2000年起從30歲開始繳養老保險，一直繳到退休，退休年齡為55歲、60歲、65歲。根據式（3）～（6）和式（8）～（11），利用Excel表逐個計算各年份的賬戶余額f（i）和g（i），即可獲得平衡點，非常方便。其中r=3%，社會平均工資仍按ci=y（23+i）（i＞10）預測，可查表1。兩個賬戶的收支情況和平衡點的具體結果如表4所示。根據養老保險制度設計的基本精神，當A賬戶發生透支時，不可用B賬戶資金填補，而當B賬戶發生透支時，可用A賬戶資金填補，但一般不夠填補，透支依然發生。所以整個養老保險基金的平衡點以先發生透支的賬戶為準。表4顯示，55歲退休，62歲（2032年）達到平衡，下一年打破平衡出現透支；60歲退休，68歲（2038年）達到平衡，下一年打破平衡出現透支；65歲退休，73歲（2043年）達到平衡。B賬戶的透支時點與計發月數基本相當，規定的計發月數可分別折算為14.2年、11.6年、8.4年，表4顯示B賬戶透支前發放14年、12年、9年，兩者之間的差距主要來自于養老金的增長和利息參與。3.4養老保險基金的缺口兩個賬戶的透支總額即為養老保險基金的缺口。考慮一個具體例子：2000年30歲開始繳費，至75歲死亡，賬戶運行至2044年（死亡當年的補償、喪葬費等屬于另外的賬戶），對應i=44。兩個賬戶的透支額分別為f（44）和g（44）（負值），仍按式（10）和（11），延續表4的計算過程，計算結果如表5所示。從表5可看出，除繳費35年外，養老保險基金的缺口比較嚴重，分別達50.4萬元和32.5萬元。在公式（8）、（9）中，若養老金調整幅度比例取β=1，則養老金發放水平將有所提高，但養老保險基金的缺口將增加10%～20%，通過相應的計算可得：表5的養老保險基金透支總額分別增加到56.1萬、32.5萬、2.8萬，不過表4的賬戶收支平衡點基本不變。